9.Лінійно-незалежні системи векторів. Базис, розклад вектора за базисом.

Лінійна комбінація векторів —це вектор=Система векторів лінійно-залежна, якщо існують скаляри не всі =0, такі що лін. Комбінація вектоів

,j=, Система векторів —лінйно-незалежна, якщо рівністьможлива лише тоді, коли всі

Властивості лін.-залежних і лін.-незалежних векторів:

1)Якщо сист. векторів лін.-залежна, то то принаймні 1 з векторів системи є лін. комбінацією інших. Доведення: Нехай лін.-залежна,тоді

є R., тоді.це лін. комбінація векторів

2)Якщо сист. векторів лін.- незалежна, то вона не містить , та жоден вектор системи не є лін. комб. інших векторів системи. Доведення:а) нехай система містить, тоді,.Отже, сист. лін.-залежна, що суперечить умові. в)—ø, тобто

Не є лін. комбінацією інших векторів.

Вектори компланарні-вектори, які лежать в 1 або паралельних площинах. ТЕОРЕМА:В множині всіх компланарних векторів будь-які 2 ненульові неколінеарні вектори є лінійно-незалежними, а будь-який 3-й вектор є лін. комбінацією цих векторів. Доведення: Нехай \,. Доведемо, щоі лін.-незалежні. Нехай і лін.-залежні, тоді а це суперечить умові. Отже, і лін- незалежні.

3)Розгл. 3 вектори ,і, зведені в 1 точці. Через кінецьпроведемо прямі паралельно і. =. В силу колінеарності відповідних векторів, маємо =, =. Тоді =+. Отже, є лінійною комб. і. Зауважимо, що такий розклад заіє однозначним.(Доведення: нехай є другий вектор =+)коорд. вектора , тобто ці вектори є рівними=>співпадає з . Ми дійшли до суперчності,-єдиний.

Множина всіх компланарних векторів з визначеними оперціями додавання векторів та множення на скаляр є прикладом веторного простору. Найбільша кількість лін-незалежних векторів простору назив. Його розмірністю, а сама система лін-незалежних векторів назив. Базисом простору.Множина всіх компланарних вкторів є векторним простором розмірності 2 і познач. . Базисскладаєтьсяз будь-яких 2 неколінеарних векторів. Якщо розглядати множину

Всіх векторів у стереометричному просторі, о доводиться ТЕОРЕМА:множині всіх компланарних векторів простору будь-які 3 нкомпланарні, ненульові, поарно неколінеарні вектори є лінійно-незалежними, а будь-який 4-й вектор є лін. комбінацією цих векторів .

10. Проекція вектора на вісь.

Числова вісь у просторі- пряма OS , на якій визначено напрямок, очаток відліку, одиничний відрізок. Вісь зручно задавати за допомогою орту. Розгл. Числову вісь:

O

z

берем будь-який вектор в просторі і зводимо його початок до точки 0. Через кінець вектора проведемоплощин, перпендикулярну до осі. Числова проекціяна вісь = =. Властивість числової проекції:1) .

2)Якщо 3) 4)

Числова проекція на— проекція на вісь, що задається ..

Розглянемо вектори в просторі R3 , ортономований базис , . Вектори попарно ортогональні . Зведемо ці вектори до спільного почтку 0 та розташуємо їх так, щоб утворювали раву трійку.

Візьмемо будь-який вектор і відкладемо від т. О.Проведемо через т.А площини ІІ до Ох, Оу, Оz. Одержимо точки при перетині з осями. визначають числові проекції на осі координат. . =, =, =. X=,y=,z=Отже. Маємо розклад за ортами Декартової прямокутної системи координат. =хі+yj+zk=(x,y,z)

Введемо кути між і осями координат: , ,З властивостей 2 проекцій маємо:cos=;cosb=;cosj=(за означ. cos) За теор. Піфагора з мал. Маємо: . cos Ці cos кутів є коорд. орта: cos

Переформуємо в коорд. формі означення та лін. операціїнад векторами:

1) =(0;0;0) 2) =, =(x1;y1;z1), (x2;y2;z2)=>x1=x2, y1=y2,z1=z2; 3) =(x;y;z). 4) +-=(x1+-x2;y1+-y2;z1+-z2)

4) =, A(x1,y1,z1), B(x2;y2;z2); =(x2-x1;y2-y1;z2-z1