40.Підпростори векторного простору

Непорожня можина U вект простору R назив. його підпростором, якщо вона з кожними двома векторами а, в містить всі їх лінійні комбінації, тобто а є U, в є U => (αа+βв) є U, α,β є R.

Теорема. Кожний підпростір є векторним простором.

Vиходячи з означ., виконуються всі аксіоми вект. простору, слід перевірити лише А3 і А4.

θ є U: α=0,β=0, а,в є U => θα+θβ=θ є U

(а є U, α =-1) +(в є U, β=0) => -ав0=-а є U

Приклади підпросторів(тривіальні):1) U={θ} – нульовий підпростір; 2) U=R; 3) U= L{а1,а2,...,аn} – множина всіх лін. комбінацій векторів а1,а2,...,аn, аі є R. (лінійна оболонка а1,а2,...,аn, підпростір, що породж. векторами а1,а2,...,аn, підпростір, натягнутий на вектори а1,а2,...,аn)

Теорема: будь-який базис е1, е2,..., еm підпростору U є R можна доповнити до базису всього простору.

Vведемо операції:

Сумою U+V підпросторів U,V вект. простору R назив. множина всіх векторів вигляду: а=u+v, де u є U, v є V

Перерізом U٨V підпросторів U, V вект. простору R назив. множина всіх векторів, які належать до U і до V. Заув.: U+V≠θ, U٨V≠θ, бо вони містять нуль-вектор.

U+V і U٨V очевидно самі є вект. підпросторами.

Теорема: для будь-яких двох підпросторів U і V простору R має місце формула Грасмана :

dim(U+V)=dimU+dimV-dim(U٨V)

Прямою сумою підпросторів U і V наз. сума U+V, якщо U٨V={θ} і познач. UV

Теорема: кожний вектор прямої суми U+V можна розкласти однозначно у таку суму: а=u+v, де u є U, v є V. Дов-я: припуск., що є представлення u+v і u’+v’. тоді u+v=u’+v’, або u-u’=v’-v ... отже, висновок : U٨V={θ}.

41.Афінний простір...

Множина Sn наз. n-вимірним афінним простором, а її елементи – точками цього простору, якщо кожній впорядкованій парі точок А,В є Sn став. у відповідність єдиний вектор з Rn (вектор АВ є Rn) так, що мають місце аксіоми:

А1. Для кожної т.А, що є Sn, кожного вектора а є Rn існує єдина точка В, що є Sn така, що АВ=а

А2. Для будь-яких трьох точок А,В,С є Sn виконується АВ+ВС=АС

Заув. Вект. простір Rn є Афінним простором. За т. простору Sn беруться вектори Rn. А->а, В->в, АВ->в-а Навпаки, кожний Аф. простір Sn є арифметичним, оск. якщо обрати початок т. О, що є Sn та утворити радіус-вектори ОА і ОВ, то ці вектори будуть елементами Rn.

Введемо Афінну сист. координат(АСК). Для цього зафіксуємо довж. т. О є Sn (початок коорд.) та в просторі Rn вибираємо деякий базис. Rn: е1, е2,..., еn. Виберемо довж. т. М є Sn. Побуд. вектор ОМ=х(радіус-вектор) є Rn.

Розкладемо х в Rn за базисом:ОМ=α₁е₁+α₂е₂+...+α_ne_n, коеф. α_і – коорд. т. М в АСК.

MN=ON-OM=(β₁ – α₁)е₁+(β₂ – α₂)е₂+...+(β_n – α_n)е_n, де β_і – афінні коорд. т. N, α_i – т.M

Якщо в Аф. просторі Sn зафіксована т. А, А є Sn; в арифметичному прост. вибрано підпростір Um (Um є Rn), то множина всіх точок афінного простору М є Sn таких, що АМ є Um, назив. m-вимірною площиною, що прох. через т.А в напрямі підпростора Um. А-початк. точка, М-поточна т.,Um-напрямний підпростір.

Um: m=0,то нульвимірна площина – т. А; m=1, то площ. назив. прямою лінією; m=n-1, то площ. наз. гіперплощиною; m=n, то m-вимірна площина збігається з Sn.

Складемо р-няm-вимірної площини. Розглянемо АСК: 0,е₁,...,е_n. m-вимірна площина: А є Sn, Um с Rn, Um: f₁,f₂,…,f_m. OA=f₀, AM є Um, ОМ=х.

ОМ=ОА+АМ.

x=f₀+(1) (розклад за базисом Um) – векторне р-ня m-вимірної площини α_і є R, і=1,м Перейдемо до координатної форми векторів:

f_i=(f_i1, f_i2,…, f_in)^T, i=0,m (належить Rn)

х=(х₁,...,х_n)^T Отже, x_j=f_0j+, j=1,n (2) – параметричне р-ня m-вимірної площ. Якщо f₀=θ, то m-вимірна площ. збігається з Um (р-ня (1) або (2) зад. підпростір Um)

Векторне р-ня прямої(m=1): А, f₀, f₁; х=f₀+α₁f₁;

Парам. р-ня: х_j=f_0j+α₁f_1j, j=1,n

Канонічне: α₁=(х₁- f₀₁)/ f₁₁=(х₂- f₀₂)/ f₁₂=(х_n- f_0n)/ f_1n