Задачник / Глава 01+введ (3-25)

Рис. 1.9

N – продольная сила положительна, если она растягивающая, направлена от сечения, отрицательна, если сжимающая.

– поперечные силы в сечении положительны, если часть стержня, расположенная ближе к началу координат, стремится сдвинуться под действием внешних сил в сторону отрицательного направления осей х или у.

Другая формулировка. Если внешняя нормаль к рассматриваемой отсеченной части стержня совпадает по направлению с положительным

13

14

1.1.9 Принцип независимости действия сил

Формулировка принципа: результат действия группы сил равен сумме соответствующих результатов от каждой силы в отдельности.

Под «результатом» можно понимать многие параметры – это реакция, внутреннее усилие в сечении, напряжение, деформация и т. д. Например, продольная сила N при растяжении–сжатии стержня от воздействия ряда внешних сил n равна сумме внутренних усилий Ni от каждой из внешних сил в отдельности (1 i n ):

n

N Ni .

i 1

Чтобы принцип независимости действия сил был справедлив, необходимо соблюдение следующих условий:

1)величины, к которым применяется данный принцип, должны быть связаны линейной зависимостью, например, законом Гука;

2)деформации и перемещения должны быть малы.

Последнее требование связано с так называемым принципом отвердения, т. е. с расчетом по недеформированной схеме. При приложении нагрузки система деформируется и находится в равновесии уже в деформированном состоянии. Поэтому реакции и внутренние усилия в сечениях следовало бы определять именно в этом состоянии. Но если деформации и перемещения в системе настолько малы по сравнению с размерами элементов системы, что их влиянием при составлении уравнений равновесия системы или любой ее части можно пренебречь, то это и дает нам право определять реакции в системе и внутренние усилия в сечениях элементов без учета их деформаций.

1.1.10 Основная цель и задачи курса сопротивления материалов

Основная цель механики твердого деформируемого тела, в частности сопротивления материалов, – дать методы расчета конструкций и их элементов на прочность (не должно происходить разрушение (рис. 1.10, а)), жесткость (деформации и перемещения не должны превышать определенной нормативной величины (рис. 1.10, б)) и устойчивость (стержень не должен терять свою первоначальную форму равновесия (рис. 1.10, в)).

15

1.1.11 Понятие об инженерных методах расчетов конструкций

Расчет конструкций и их элементов на прочность и жесткость включает в себя такие вопросы, как выбор материала, размеров и формы поперечного сечения элементов, которые должны обеспечить надежную эксплуатацию конструкции, предназначенной для работы в определенных условиях среды, в зависимости от характера нагружения, температурного режима в течение всего заданного срока службы.

Существует несколько методов выполнения прочностных расчетов конструкций: по допускаемым напряжениям; по допускаемой нагрузке; по предельным состояниям; вероятностные методы расчета и др.

Расчет по допускаемым напряжениям сводится к тому, что фак-

тическое наибольшее напряжение max или расчетное напряжение pi по

той или иной теории прочности в самой опасной точке не должно превышать некоторой допускаемой нормативной величины :

где к0 ;0 – опасное напряжение, которое для малоуглеродистой пластичной ста-

ли принимается равным пределу текучести т , а для хрупких материалов – временному сопротивлению (пределу прочности) в ;

к – коэффициент запаса прочности, для пластичных материалов к = 1,4…1,6, для хрупких материалов к = 2,5…3,5 и иногда доходит до 6.

При назначении коэффициента запаса прочности учитывается разброс значений механических характеристик конструктивного материала при испытании образцов, условия работы, возможное превышение заданной нагрузки, ответственность сооружения (назначенная продолжитель-

16

ность его службы) и прочее. Все это учитывается в данном методе расчета одним единственным значением коэффициента запаса к.

Расчет по допускаемой нагрузке исходит из предпосылки, что на-

грузка Fmax на конструкцию на должна превышать допускаемой величиныF , которая определяется из равенства :

Здесь к – коэффициент запаса по нагрузке, аналогичен коэффициенту запаса прочности при расчете по допускаемому напряжению;

Fпред – предельная нагрузка, при которой не отдельная точка в кон-

струкции, а вся конструкция в целом исчерпывает свою несущую способность.

В этом случае в отдельных элементах конструкции или некоторых сечениях стержней допускается возникновение опасных напряжений, в частности, предела текучести или образование так называемых пластических шарниров (подробнее об этом методе расчета с примерами см. в главе 11).

Расчет по предельной нагрузке статически определимых изгибаемых

искручиваемых элементов и всех статически неопределимых стержневых систем позволяет вскрыть внутренний резерв прочности этих конструкций

иувеличить их несущую способность по сравнению с расчетом по допускаемому напряжению.

Понятие о методе расчета по предельным состояниям. Этот метод расчета рекомендуется Строительными нормами и правилами для расчета строительных конструкций, предназначенных для работы в различных условиях, изготовленных из материала с определенными прочностными и деформационными свойствами.

Рассматривается две группы предельных состояний:

I предельное состояние – потеря несущей способности или непри-

годность к эксплуатации (разрушение, потеря устойчивости, чрезмерное раскрытие трещин и пр.);

II предельное состояние – непригодность к нормальной эксплуата-

ции (недопустимые перемещения, прогибы, углы поворота и т. п.).

Вводится понятие о расчетном сопротивлении материала R, которое в некотором смысле является аналогом :

R Rн .м н

Здесь все величины устанавливаются согласно данным СНиПа:

17

Rн – нормативное сопротивление материала, устанавливаемое нормами проектирования с учетом статистической изменчивости опасного напряжения (предела текучести т , временного сопротивления в , критического напряжения кр и т. д.);

м – коэффициент надежности по материалу, учитывает возможное отклонение прочностных характеристик в неблагоприятную сто-

рону, м 1;– коэффициент условий работы, учитывает температуру, влаж-

ность, агрессивность среды, длительность воздействия нагрузки, т. е. особенности, имеющие систематический характер, но не отраженные в расчетах в прямом виде, 1;

н – коэффициент надежности по назначению, учитывает степень ответственности, капитальности сооружения, н 1.

Усилие, действующее на рассчитываемый элемент конструкции, определяется по зависимости:

F Fн1n1 Fн2n2 Fн3n3nc ,

где Fн1, Fн2 , Fн3 – нормативные нагрузки (временные, постоянные, снеговые, ветровые и т. д.);

n1, n2 , ...– коэффициенты перегрузки, коэффициенты запаса по отношению к нагрузке, ni 1;

nc – коэффициент неблагоприятного сочетания нагрузок.

В заключение обсуждения существующих инженерных методов расчета следует сказать, что расчет по допускаемым напряжениям появился и совершенствуется вместе с наукой о сопротивлении материалов и ранее применялся для расчета любых конструкций, а в настоящее время используется при расчете машиностроительных конструкций.

По методу предельных состояний в настоящее время рассчитывают строительные конструкции – промышленные и гражданские, мосты и др.

18

Расчет по методу предельных нагрузок применим для несложных расчетных схем и скорее носит познавательный характер, вскрывая внутренний запас прочности в рассчитываемых системах.

Как отмечалось, сопротивление материалов рассматривает методы расчета простейшего элемента конструкции – стержня – при различных условиях его загружения, безотносительно к условиям работы конкретного сооружения, района, для которого оно предназначается. Поэтому в сопротивлении материалов, по нашему мнению, целесообразно опираться на метод расчета по допускаемым напряжениям, с единственным коэффициентом запаса прочности, и избежать необходимости при решении задач на растяжение, изгиб и пр. задаваться многими коэффициентами, существенными только для конкретных строительных конструкций в конкретных условиях эксплуатации, что предусматривается в методе расчета по предельным состояниям.

1.2 Уравнения равновесия системы. Определение реакций

Из курса теоретической механики известно, что если конструкция или её часть находится в равновесии, то силы, действующие на неё, должны удовлетворять в общем случае шести уравнениям равновесия: суммы проекций всех сил (как активных, так и реактивных) на каждую из трех координатных осей (x, y, z) должны быть равны нулю и суммы моментов всех сил относительно каждой из этих осей также равны нулю.

При составлении уравнений равновесия расчет обычно ведется по недеформированной схеме сооружения, т. е. принимается, что деформации и перемещения в системе малы и они не влияют на величину реакций.

Частные случаи

1.Если система сил, действующих на конструкцию (приложенные внешние силы плюс реакции), пространственная, то составляются все шесть уравнений равновесия.

2.Если все силы (приложенные внешние силы плюс реакции) лежат

водной плоскости и не пересекаются в одной точке, то можно составить только три независимых друг от друга уравнения равновесия. Если силы пересекаются в одной точке, то можно составить лишь два независимых уравнения равновесия – суммы проекций сил на две оси координат.

3.Возможен, наконец, и такой вариант, когда все внешние силы и реакции лежат на одной прямой или сводятся к системе моментов относительно одной оси, тогда из шести уравнений равновесия тождественно не равным нулю будет лишь одно – сумма проекций на ось, вдоль которой действуют внешние силы, или сумма моментов относительно оси.

19

Пример 1.2.4. Консольная балка загружена силами F1 = 10 кН;

F2 = 20 кН; F3 = 40 кН; a = b = 2 м.

Все силы лежат в одной плоскости, совпадающей с плоскостью рисунка, и не пересекаются в одной точке.

Найти реакции (рис. 1.14).

21

Для проверки правильности определения реакции можно взять сумму моментов относительно какой-либо точки, например точки приложения

силы F1:

M1 0; M A VAa F2b 0; 100 30 2 20 2 0; 0 0.

Реакции найдены верно.

О т в е т : НА = – 40 кН; VА = 30 кН; МА = 100 кНм.

Пример 1.2.5. Балка лежит на двух шарнирных опорах, одна из которых подвижная, другая – неподвижная. Все силы действуют в одной плоскости (рис. 1.15).

l = 3 м; a = 1 м; b = 2 м; F1 = 15 кН; F2 = 25 кН; q = 5 кН/м.

Найти реакции опор.

Рис. 1.15

Решение. Не равны нулю в данном случае три реакции: HA, VA, RB. Для их определения в балках на двух опорах рекомендуется составлять следующие уравнения равновесия: две суммы моментов относительно опор А и В, сумма проекций на ось стержня.

Такой выбор уравнений равновесия основан на том, что в каждое из них в этом случае войдет только одна неизвестная реакция. Следовательно, все три реакции будут найдены независимо друг от друга. При этом ошибка в определении одной реакции не скажется на определении двух других.

Момент от распределенной нагрузки определяется как произведение «грузовой площади» и расстояния от центра «грузовой площади» до точки, относительно которой определяется момент.

1)M A 0; RBl F1 l a qb b2 0;

2)M B 0; VAl qb l 0,5b F1a 0;

3)Z 0; H A F2 0.

22