1 Механика

Тест 1 - 1

Если аи а_n-тангенциальное и нормальное ускорение, то соотношения а_>0 и а _n= 0 справедливы для:

Варианты ответов:

1) равномерного и прямолинейного движения;

2) ускоренного и прямолинейного движения;

3) равномерного и криволинейного движения;

4) ускоренного и криволинейного движения;

5) замедленного и криволинейного;

6) равномерного движения по окружности.

Решение.

Нормальное ускорение а_п характеризует изменение скорости по направлению. Следовательно, если а_n = 0, то скорость по направлению не изменяется, и движение будет прямолинейным. Тангенциальное ускорение а характеризует изменение скорости по модулю (или величине). Поэтому, если а_>0, то скорость по модулю возрастает, и движение будет ускоренным.

Тест 1 - 2

Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой. При этом величина полного ускорения...

Варианты ответов:

1) увеличивается ;

2) не изменяется;

3) уменьшается.

Решение.

Полное ускорение равно векторной сумме нормального и тангенциального ускорения: = _п + _τ . Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и равно a _n = v ²/R, где v – скорость точки, R – радиус кривизны траектории. Так как по условию задачи v = const, а R при движении, показанном на рисунке (т. е. по часовой стрелке) уменьшается, то a _n увеличивается. Другая составляющая ускорения - тангенциальное ускорение а_τ характеризует изменение скорости по величине (или по модулю) и равно производной от скорости по времени: а _τ = dv/dt. Так как скорость v = const, то её производная равна нулю и а _τ =0. Тогда а =a _n , т.е. полное ускорение по модулю равно нормальному ускорению. Следовательно, полное ускорение увеличивается.

Ответ: вариант 1.

. Тест 1 – 3

Точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Если проекция тангенциального ускорения на направление скорости положительна, то величина нормального ускорения…

Варианты ответов:1) уменьшается; 2) не изменяется; 3) увеличивается.

Решение.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и равно a _n = v ²/R, где v – скорость точки, R – радиус кривизны траектории. Так как по условию задачи точка движется по окружности, то R = const. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине (или по модулю) и равно а _τ = dv/dt . По условию а _τ= const и проекция тангенциального ускорения на направление скорости положительна. Следовательно, движение по окружности будет равноускоренным. Поскольку при равноускоренном движении скорость по модулю увеличивается, то величина нормального ускорения a _n по модулю также увеличивается.

Ответ: вариант 3.

Тест 1 – 4

Материальная точка М движется по окружности со скоростью _. На рис. 1 показан график зависимости v_τ от времени ( -единичный вектор положительного направления, v_τ - проекция на это направление). На рис.2 укажите направление вектора полного ускорения.

Варианты ответов:

1) Направление 1; 2) Направление 2; 3) Направление 3; 4) Направление 4.

Решение.

Полное ускорение тела складывается из векторной суммы тангенциального ускорения _τ , характеризующего изменение скорости по модулю (или величине), и нормального ускорения _n , характеризующего изменение скорости по направлению. Рассмотрим, как направлены вектора _τ и _n . При равнопеременном движении вектор тангенциального ускорения совпадает по направлению с вектором скорости, если движение равноускоренное, и противоположен ей, если движение равнозамедленное. Вектор нормального ускорения перпендикулярен вектору скорости.

Из рис. 1 следует, что модуль вектора скорости линейно убывает со временем. Следовательно, движение будет равнозамедленным, и вектор тангенциального ускорения будет противоположен по направлению вектору скорости v_τ. Так как скорость направлена по касательной к траектории (направление 1 на рис. 2), то направление тангенциального ускорения _τ при равнозамедленном движении будет противоположно направлению 1.

При движении тела по окружности скорость изменяется по направлению, и нормальное ускорение _n будет направлено к центру окружности (направление 3 на рис.2). Результирующее ускорение, равное векторной сумме = _τ + _n , будет иметь направление 4.

Ответ: вариант 4.

Тест 1 – 5

Материальная точка М движется по окружности со скоростью . На рис. 1 показан график зависимости v_τ от времени ( - единичный вектор положительного направления, v_τ - проекция на это направление). На рис.2 укажите направление силы, действующей на точку М в момент времени t₁.

Варианты ответов:

1) Направление 1; 2) Направление 2; 3) Направление 3; 4) Направление 4.

Решение

Согласно второму закону Ньютона, ускорение пропорционально результирующей силе, действующей на тело. Полное ускорение тела складывается из векторной суммы тангенциального ускорения _τ, которое характеризует изменение скорости по модулю, и нормального ускорения _n , характеризующего изменение скорости по направлению. Из рис.1 следует, что для момента времени t ₁ скорость по модулю линейно возрастает. Следовательно, движение будет равноускоренным, и вектор тангенциального ускорения _τ будет совпадать по направлению с вектором скорости _τ (направление 1 на рис. 2) .

При движении тела по окружности скорость изменяется по направлению, и нормальное ускорение _n будет направлено к центру окружности (направление 3 на рис.2). Результирующее ускорение равно векторной сумме = _τ+ _n и будет иметь направление 2. Следовательно, результирующая сила также будет иметь направление 2. Ответ: вариант 2.

Тест 1 – 6

Материальная точка М движется по окружности со скоростью . На

рис. 1 показан график зависимости проекции скорости v_τ от времени, где - единичный вектор положительного направления v_τ - проекция _.на это направление. При этом для нормального а_n и тангенциального а_τ ускорения выполняются условия...

Варианты ответов:

1) а_n>0; а_τ= 0; 2) a_n = 0; a_τ= 0;

3) а_n>0; а_τ<0. 4) а_п>0; а_τ>0.

Решение

Нормальное ускорение а_n характеризует изменение скорости по направлению. Если точка движется по окружности, то её скорость изменяется по направлению, следовательно, а_n> 0. Тангенциальное ускорение а_τ характеризует изменение скорости по модулю (или величине). Из рис. 1 следует, что скорость по модулю не изменяется, т.е. тангенциальное ускорение а_τ=0. Следовательно, а_n>0, а_τ = 0. Ответ: вариант 1.

Тест 1 - 7

Тело массой 2 кг поднято над Землёй. Его потенциальная энергия равна 400 Дж. Если на поверхности Земли его потенциальная энергия равна нулю и силами сопротивления воздуха можно пренебречь, скорость, с которой оно упадёт на Землю составит…

Варианты ответов:

1) 14 м/с; 2) 20 м/с; 3) 10 м/с; 4) 40 м/с.

Решение

Поскольку силами сопротивления воздуха можно пренебречь, то нужно применить закон сохранения энергии, согласно которому, потенциальная энергия тела, поднятого над Землёй, равна его кинетической энергии в конце падения: W _p= W_k. Кинетическая энергия тела равна W_k = mv ²/2. Отсюда v = . После численной подстановки получим: v = 20 м/с.

Ответ: вариант 2.

Тест 1 – 8

Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике U=U(x).

Скорость шайбы в точке С …

Варианты ответов:

1) в  раз больше, чем в точке В;

2) в 4 раза больше, чем в точке В;

3) в раза больше, чем в точке В;

4) в 2 раза больше, чем в точке В.

Решение.

Поскольку силами сопротивления воздуха и силами трения шайбы о лед можно пренебречь, то нужно применить закон сохранения энергии, и полную механическую энергию замкнутой системы считать постоянной. Так как полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной, то W = W_к + W_P = const. Потенциальную энергию можно найти из графика, приведённого на рисунке, а кинетическую найти как разность между полной энергией и потенциальной: W_к = W - W_P . Следовательно, в точке А энергия равна:

W= W_P =100 Дж, W_к = 0. В точке В W_P =70 Дж, W_{к В}= 100 -70 = 30 Дж.

В точке С W_P =40 Дж, W_кс = 100 -40 = 60 Дж.

Чтобы сравнить скорости в точках С и В, нужно найти отношение их кинетических энергий. Учитывая, что кинетическая энергия равна W _k= m v ²/2, получим:

= = = . Таким образом, скорость шайбы в точке С в  раз больше, чем в точке В. Ответ: вариант 1.

Тест 1 – 9

В потенциальном поле сила пропорциональна градиенту потенциальной энергии W_P. Если график зависимости потенциальной энергии W_P от координаты х имеет вид, представленный на рисунке, то зависимость проекции силы F_х на ось Оx будет…

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Решение.

Если потенциальная энергия зависит только от одной координаты, то F_x = - . График зависимости потенциальной энергии W_P от координаты x, как видно из рисунка, представляет собой параболу, уравнение которой имеет вид: W_P = kx ², где k = const. Тогда производная от этой функции, взятая с обратным знаком, равна: F _x = - 2 kx. График зависимости проекции силы на ось F_x от координаты x представляет собой прямую, изображенную на рис. 1.

Ответ: вариант 1.

Тест 1 - 10

Частица движется вдоль окружности радиусом 1 м в соответствии с уравнением φ (t) = 2π (t² - 6t + 12), где угол φ – в радианах, время t – в секундах. Частица остановится в момент времени…

Варианты ответов: 1) 1 с; 2) 2 с; 3) 3 с; 4) 4 с.

Решение.

Угловой скоростью ω называется производная от угла поворота по времени: ω = dφ /dt. Если частица остановится, то её угловая скорость станет равной нулю. Возьмём производную и приравняем её нулю. Тогда получим: (2t – 6) = 0. Отсюда t = 3 с. Ответ: вариант 3.

Тест 1 – 11

Обруч массой m = 0,3 кг и радиусом R = 0,5 м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного движения 1200 Дж, и опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола. Если обруч начал двигаться без проскальзывания, имея кинетическую энергию поступательного движения 200 Дж, то сила трения совершила работу…

Варианты ответов:

1. 1000 Дж; 2) 1400 Дж; 3) 800 Дж; 4) 600 Дж.

Решение.

Работа равна изменению кинетической энергии тела: А = W₂ –W₁. По условию задачи начальная кинетическая энергия обруча равна W = 1200 Дж. Конечная кинетическая энергия обруча при движении параллельно плоскости пола складывается из суммы кинетических энергий поступательного и вращательного движения: W₂ = m v ²/2 + I ω ²/2 , где v – линейная скорость, ω – угловая скорость, ω = v/R , I – момент инерции. Для обруча I = m R ². После подстановки этих формул получим:

W ₂ = m v ² /2 + m R ² ·(v / R)² /2 =2(m v ² /2). По условию задачи кинетическая энергия поступательного движения mv ² / 2 = 200 Дж. Тогда конечная кинетическая энергия обруча равна W₂ = 2·200 = 400 Дж. Следовательно, работа силы трения по модулю равна: А =│400 -1200│= 800 Дж.

Ответ: вариант 3.

Тест 1 – 12

Система состоит из трех шаров с массами m₁=l кг, m₂ =2кг, m₃=3 кг, которые двигаются так, как показано на рисунке. Если скорости шаров равны v₁=3 м/c, v₂=2 м/c, v₃=1м/c, то величина скорости центра масс этой системы в м/с равна...

Варианты ответов: 1) 4; 2) 2/3; 3) 10; 4) 5/3.

Решение.

Импульс системы равен векторной сумме импульсов тел, составляющих систему: = ₁ + ₂ + ₃. Найдём проекции импульса на оси координат: p_x = m₂ v₂ = 2×2 = 4 кг· м/с.

p_y = p₁ - p₂ = m₁ v₁- m ₃v₃ = 1× 3 - 3×1 = 0. Тогда модуль импульса системы равен p = p_x= 4 кг· м/ с. Масса системы равна:

m = m₁ + m ₂ + m₃ =1+2 + 3=6 кг. Найдём скорость центра масс: v = p /m = 4/6 =2/3 м/с.

Ответ: вариант 2.

Тест 1 – 13

Теннисный мяч летел с импульсом ₁ в горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар длительностью Δt = 0,1 с. Изменившийся импульс мяча стал равным  ₂ (масштаб указан на рисунке). Средняя сила удара равна … Варианты ответов:

1) 50 Н; 2) 0,5 Н; 3) 30 Н; 4) 5 Н.

Решение.

Среднюю силу удара можно определить из второго закона Ньютона, записанного в общей форме = , где ∆=₂ -₁ - изменение импульса тела, Δt – промежуток времени, за который это изменение произошло. Изменение импульса ∆ – это вектор, соединяющий конец вектора ₁ с концом вектора ₂ (см. рис. в решении).

Согласно этому рисунку, горизонтальная компонента изменения импульса равна: ∆р_x=3 кг∙м/с, а вертикальная компонента изменения импульса равна: ∆р_y=4 кг∙м/с. Модуль изменения импульса вычисляется по теореме Пифагора: ∆р = =5 кг∙м/с .Тогда средняя сила удара по модулю равна: F = = 50 Н. Ответ: вариант 1.

Тест 1 – 14

Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится звезда массой М. Если - радиус-вектор планеты, то справедливым является утверждение...

Варианты ответов:

1) Момент силы тяготения, действующей на планету, относительно центра звезды, не равен нулю.

2)Момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется.

3)Для момента импульса планеты относительно центра звезды справедливо выражение: L = mvr.

Решение

Проанализируем правильность утверждений.

1. Модуль момента силы равен :M = F ·r·sin(α), где α – угол между силой и радиусом – вектором . Сила тяготения направлена в сторону, противоположную радиусу – вектору , т.е. α = 180˚ , sin (180˚) = 0 и M = 0. Поэтому первое утверждение является неверным.

2. Второе утверждение является правильным, т.к. оно соответствует закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется. Поэтому момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется.

3. Третье утверждение является неправильным, т.к. модуль момента импульса равен L = mv r· sin α, где α – угол между вектором импульса m и радиусом – вектором планеты . Очевидно, что этот угол, а также v в процессе движения изменяются, но mv r· sin α = const.

Ответ: вариант 2.

.

Тест 1 – 15

Диск радиуса R вращается вокруг вертикальной оси равноускоренно по часовой стрелке. Укажите направление вектора углового ускорения.

Варианты ответов:

1) Направление 1; 2) Направление 2;

3) Направление 3; 4) Направление 4.

Решение.

При вращении тела поворот можно изобразить в виде вектора, направленного вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта. Это значит, что если головка винта движется по окружности в направлении вращения, то поступательное движение винта укажет направление вектора поворота. В нашем случае при вращении тела по часовой стрелке винт (буравчик) будет закручиваться, и вектор угла поворота будет иметь направление 4. При ускоренном вращении направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора поворота. Следовательно, вектор углового ускорения надо изобразить в направлении 4.

Ответ: вариант 4.

Тест 1 – 16

Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость угловой скорости от времени (t) приведена на рисунке. Тангенциальное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения равно...

Варианты ответов:

1) 0,5 м/с; 2) -0,5 м/с²; 3) 5 м/с²; 4) -5 м/с².

Решение.

Тангенциальное ускорение по модулю равно произведению углового ускорения на радиус: a _τ = ε∙R. По условию задачи радиус R = 1 м. Угловое ускорение при равномерном вращении равно отношению изменения угловой скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло: ε = Δω/ Δt, где Δω = ω₂ – ω₁, Δt = t₂ – t₁. Взяв две точки на графике, найдём Δω и Δt. Пусть t₁ = 0, ω₁ = - 10 рад/с и t₂ = 2 с, ω₂ = - 20рад/с. Тогда Δω -20–(-10) = - 10 рад/с, Δt =2 – 0 =2с, ε = ( - 10 ) / 2 = -5рад/с². Следовательно, тангенциальное ускорение точки равно: a _τ = (- 5)∙1 = -5 м/с². Ответ: вариант 4.

Тест 1 - 17

Диск и цилиндр имеют одинаковые массы и радиусы (рис.). Для их моментов инерции справедливо соотношение...

Варианты ответов: 1) I_Ц > I_Д ; 2) I_Ц = I_Д ; 3) I_Ц < I_Д .

Решение.

Моменты инерции сплошного цилиндра и диска вычисляются по одинаковой формуле: I = mR ²/2 . Эта формула показывает, что момент инерции не зависит от длины цилиндра. Следовательно, I_Ц = I_Д .

Ответ: вариант 2.

Тест 1 – 18

Если момент инерции тела увеличить в 2 раза, а скорость его вращения уменьшить в 2 раза, то момент импульса тела...

Варианты ответов: 1) увеличится в 4 раза; 2) уменьшится в 4 раза;

3) уменьшится в 2 раза; 4) не изменится.

Решение.

Момент импульса тела численно равен произведению момента инерции тела на его угловую скорость: L= I·ω. Поэтому, если один сомножитель увеличить в 2 раза, а другой уменьшить в 2 раза, то результат не изменится.

Ответ: вариант 4.

Тест 1 –19

При расчете моментов инерции тела относительно осей, не проходящих через центр масс, используют теорему Штейнера. Если ось вращения тонкостенной трубки перенести из центра масс на образующую (рис.), то момент инерции относительно новой оси увеличится в....

Варианты ответов: 1) 4 раза; 2) 2 раза;

3) 3 раза; 4) 1.5 раза.

Решение.

По теореме Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси I равен моменту инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс I₀, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния d между осями: I = I₀ + m·d². Момент инерции тонкостенной трубки относительно оси симметрии вычисляется так же, как момент инерции обруча: I₀ = mR², расстояние между осями, как следует из рисунка, равно d = R. Тогда по теореме Штейнера:

I = mR² + mR² = 2mR² = 2I₀. Отсюда следует, что момент инерции увеличится в 2 раза: I/I₀=2.

Ответ: вариант 2.

Тест 1 –20

Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали пополам вдоль оси симметрии. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси OO'. Для моментов инерции относительно оси OO' справедливо соотношение …

Варианты ответов:

1) I ₁ = I ₂ > I ₃; 2) I ₁ < I ₂ = I ₃; 3) I ₁ = I ₂ <I ₃; 4) не хватает данных.

Решение.

Моментом инерции твёрдого тела называется сумма призведений масс материальных точек на квадраты их расстояний до оси вращения. Исходя из этого определения, сравним моменты инерции неразрезанной и разрезанных деталей.

Если тело разрезать поперек оси вращения и отодвинуть части друг относительно друга на некоторое расстояние, то при таком расположении частей тела расстояния материальных до оси вращения не изменяются. Поэтому момент инерции тела останется прежним, т. е. I₁ = I₂.

Если расположить разделенные части тела симметрично относительно оси ОО′ на такое же расстояние, как при поперечном разрезе, показанном на рисунке, то расстояния материальных точек относительно оси вращения для третьей детали уменьшится по сравнению со второй. Поэтому момент инерции I ₃< I ₂ . Следовательно, справедливо соотношение I ₁ = I ₂ > I ₃ .

Ответ: вариант 1.

Тест 1 –21

Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω₁ свободно вращается система из невесомого стержня и массивной шайбы, которая удерживается нитью на расстоянии R ₁ от оси вращения. Отпустив нить, шайбу перевели в положение 2, и она стала двигаться по окружности радиусом R₂= 2R₁ с угловой скоростью ...

Варианты ответов:

1. ω₂ = ω₁/2; 2) ω₂ = ω₁/4; 3) ω₂ = 4ω₁; 4) ω₂ = 2ω₁.

Решение.

Задача решается по закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется. Данную систему можно рассматривать как замкнутую, так как момент силы, перемещающей шайбу вдоль стержня, относительно оси вращения равен нулю. Поэтому момент импульса шайбы до перемещения равен моменту импульса шайбы после перемещения: L₁ = L₂. Момент импульса твердого тела равен произведению момента инерции тела на угловую скорость: L = I ω, поэтому по закону сохранения момента импульса получим: I₁ ω₁= I₂ ω₂ . Шайбу можно рассматривать как материальную точку, момент инерции которой равен произведению массы на квадрат её расстояния до оси вращения: I = m∙R². Тогда получим:

mR₁²ω₁ = mR₂²ω₂. Отсюда: ω₂=R₁²ω₁/R₂²= ω₁·(R₁/ R₂)² . Так как по условию задачи R₂ = 2R₁ , то ω₂ = ω₁ /4.

Ответ: вариант 2.

Тест 1 - 22

В потенциальном поле сила пропорциональна градиенту потенциальной энергии W_P. Если график зависимости потенциальной энергии W_P от координаты х имеет вид, представленный на рисунке, то зависимость проекции силы F_x на ось x будет...

Варианты ответов:

1. 2) 3) 4)

Решение.

График зависимости потенциальной энергии W_p от координаты x, как видно из рисунка, представляет собой прямую, проходящую через начало координат, уравнение которой имеет вид: W_p = - Κ x, где Κ – константа.

Если потенциальная энергия зависит только от одной координаты, то проекция силы на ось Ох равна производной от потенциальной энергии по координате, взятой с обратным знаком: F_x = - . После вычисления производной от W_p , взятой с обратным знаком, получим: F_x = Κ. Так как коэффициент Κ > 0, то график функции F_x (x) будет представлять собой прямую, изображенную на рисунке варианта 1.

Ответ: вариант 1.