Требования, предъявляемые к оформлению расчетно-графической работы

1 Расчетно-графическая работа выполняется на одной стороне стандартных (формата А4) листов белой писчей бумаги, на обложке которой должны быть указаны: шифр, фамилия и инициалы студента, учебная группа.

2 На первой странице (следующей после титульного листа) приводятся: формулировка задачи, схема электрической цепи и параметры ее элементов. Далее приводятся расчетные схемы со всеми необходимыми цифровыми и буквенными обозначениями, возможно использование графических редакторов.

3 Кратко даются пояснения по всем этапам расчета, при этом сначала записываются уравнения и расчетные формулы в общем виде, а затем производится подстановка числовых значений. Для всех используемых в расчетах величин указывается их размерность. Рисунки, графики, вспомогательные схемы, векторные диаграммы должны располагаться по тексту после соответствующих ссылок. Каждый рисунок должен быть подписан. В тексте допускаются только общепринятые сокращения слов.

4 Вычисления производятся с точностью, при которой относительная погрешность расчета не превышает 1 %.

5 Графики и диаграммы должны выполняться с соблюдением масштаба. Для координатных осей необходимо выбирать равномерные масштабы, кратные 1; 2; 2,5; 5; 10 и т. д. во всем диапазоне изменения величины. Все вертикальные и горизонтальные шкалы должны быть оцифрованы равномерно на одной высоте и начинаться с нуля.

6 Незачтенная расчетно-графическая работа должна быть исправлена в соответствии с замечаниями и представлена на повторную рецензию. Для исправлений можно использовать обратную (чистую) сторону предыдущего листа. При большом количестве исправлений на одной странице ее нужно переписать и вклеить рядом со страницей, содержащей замечания рецензента.

7 Расчетно-графическая работа, выполненная не по варианту, оформленная неаккуртно и написанная неразборчиво, не рецензируется.

Методические указания

Пример 1. Расчет линейной электрической цепи постоянного тока.

Для цепи, изображенной на рисунке 1, известны ЭДС Е₁ = 220 В, Е₂ = 110 В и внутренние сопротивления источников питания r₀₁ = 1 Ом, r₀₂ = 2 Ом, а также сопротивления r₁ = 5 Ом, r₂ = 15 Ом, r₃ = 25 Ом, r₄ = 7 Ом, r₅ = 30 Ом, r₆ = 20 Ом.

Необходимо:

1. Составить систему уравнений для определения токов путем непосредственного применения законов Кирхгофа. Решать эту систему уравнений не следует.

2. Определить токи ветвей методом контурных токов.

3. Составить баланс мощностей.

4. Построить потенциальную диаграмму для контура, включающего две ЭДС.

Решение

1. Задаёмся направлением токов всех ветвей и обозначаем эти токи на схеме. Стрелка источника ЭДС показывает направление увеличения потенциала. При определении направления тока следует учитывать тот факт, что ток в ветви течёт от большего потенциала к меньшему.

С

Рисунок 1

хема на рисунке 1 имеет четыре узла и шесть ветвей.Для электрической цепи, содержащей у узлов линейно независимыми будут только y – 1 уравнения, поэтому составляем три уравнения по первому закону Кирхгофа:

Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных трех независимых контуров:

2. Определяем токи ветвей методом контурных токов.

Направления контурных токов выбираем произвольно (по ходу часовой стрелки или против) и показываем стрелками внутри контуров, как это сделано на рисунке 2. Если принять все направления обхода контурных токов одинаковыми, то взаимные сопротивления контуров (входя-щие одновременно в два разных контура) берут со знаком «–».

С

Рисунок 2

оставляем уравнение для первого контура, обходя его в направлении, указанном на рисунке 2 и учитывая падения напряжения от всех контурных токов в сопротивлениях первого контура. Для контурного токаI_I будем иметь суммарное падение напряжение, равное (r₀₁ + r₁ + r₃ + r₄) I_I. По сопротивлению (r₀₁ + r₁) проходит ток I_II, который не совпадает с направлением контурного тока I_I, проходящего по данным сопротивлениям, поэтому используется знак «–». По сопротивлению r₄ протекает контурный ток I_III, который в данном резистивном элементе направлен встречно контурному току I_I, значит используется знак «–». В первый контур входит ЭДС E₁, причем ее направление не совпадает с направлением контурного тока I_I, поэтому применяется знак «–». Уравнение для первого контура примет вид

I_I (r₀₁ + r₁ + r₃ + r₄) – I_II (r₀₁ + r₁) – I_III r₄ = – E₁.

Аналогично составляем уравнения для второго и третьего контуров. В общем виде для электрической цепи, изображенной на рисунке 2, система контурных уравнений имеет следующий вид:

где r₁₁=r₀₁+r₁+r₃+r₄=1 +5+25 + 7=38 Ом;

r₂₂=r₀₁+r₁+r₀₂+r₂+ r₆=1 +5+2 + 15+ 20 =43 Ом;

r₃₃=r₀₂+r₂+r₄+r₅=2 +15+7 + 30=54 Ом.

Взаимные сопротивления берут со знаком «+», если контурные токи, проходящие по этим сопротивлениям, имеют одинаковое направление, и со знаком «–», если направления контурных токов противоположны. В рассмотренном примере взаимное сопротивление первого и второго контуров r₁₂ = – (r₀₁ + r₁) , и r₂₁ = – (r₀₁ + r₁) . Отсюда видно, что r₁₂ = r₂₁, т. е. взаимные сопротивления, отличающиеся одно от другого порядком индексов, равны между собой.

r₁₂= r₂₁= – (r₀₁+r₁)= –(1 +5)= –6 Ом;

r₁₃=r₃₁= –r₄= –7 Ом;

r₂₃=r₃₂= –(r₀₂+r₂)= –(2 +15)= –17 Ом.

Контурные ЭДС берут со знаком «+», если ее направление совпадает с направлением контурного тока, и со знаком «–», если эти направления противоположны.

E₁₁ = – E₁ = – 220 B;

E₂₂ = E₁ – E₂ = 220 – 110 = 110 B;

E₃₃ = E₂ = 110 B.

Решение системы линейных алгебраических уравнений выполним методом Крамера. Найдем определитель матрицы сопротивлений

а также следующие определители:

Находим контурные токи:

Зная контурные токи, можно определить реальные токи в ветвях. Если в ветви проходит только один контурный ток, то истинный ток в ветви будет равен контурному току по значению и одинаково направлен. Токи в ветвях, по которым проходит несколько контурных токов, равны их алгебраической сумме. Например, реальный ток первой ветви формируется двумя контурными токами I_II и I_I. Ток I_II совпадает по направлению с реальным, а I_I направлен навстречу реальному, поэтому I₁ = I_II – I_I.

В рассмотренном примере токи в ветвях равны:

I₁ = I_II – I_I = 2,766 + 4,935 = 7,701 A;

I₂ = I_III – I_II = 2,268 – 2,766 = – 0,498 A;

I₃ = – I_I = 4,935 A;

I₄ = I_III – I_I = 2,268 + 4,935 = 7,203 A;

I₅ = I_III = 2,268 A;

I₆ = I_II = 2,766 A.

Если ток имеет знак «–», то действительное его направление в ветви противоположно произвольно выбранному.

3. Проверим правильность результатов расчета, записав уравнение баланса электрических мощностей. При этом истинное направления токаI₂противоположно предварительно выбранному. Из проведенных расчетов следует: источник ЭДСE₁совпадает с направлением токаI₁, значит функционируют в режиме генерирования энергии; источник ЭДС E₂ее потребляет, так как противоположен положительному направлению токаI₂.

Мощность источников энергии

P_ист = E₁ I₁ – E₂ I₂ = 220 ·7,701 – 110 · 0,498 = 1639,44 Вт.

Мощность нагрузки

Относительная погрешность результатов расчета:

Относительная погрешность расчета балансом мощностей не превышает 1 %, значит расчет токов схемы выполнен правильно.

4. Построим потенциальную диаграмму для контура, включающего две ЭДС.

Потенциальную диаграмму строим для второго контура цепи (рисунок 3), так как в рассматриваемый контур входят два источника ЭДС и. В представленной на рисунке 3 схеме направление токаI₂изменено на противоположное, в дальнейших расчетах потенциалов используется положительное значение величины данного тока. Разбиваем данный контур на участки, границы которых обозначаем буквамиa,b,c,d,e. Заземляем точкуa, условно считая ее потенциал нулевым, и обходим контур по часовой стрелке от этой точки в той последовательности, в какой точки встречаются на пути. Таким образом, φ_a= 0. Следующей точкой на пути обхода контура будет точкаb. На участкеabнаходится источник ЭДСE₁с внутренним сопротивлениемr₀₁. Направление обхода контура совпадает с направлением ЭДСE₁, значит потенциал повышается, также происходит уменьшение потенциала на значение величины падения напряжения на резистореr₀₁(при совпадении направлений тока и обхода контура знак отрицательный, в противном случае он положительный)

Рисунок 3

При переходе от точки bк точкеcпроисходит уменьшение потенциала на значение величины падения напряжения на резистореr₁(направление обхода контура совпадает с направлением тока в резистореr₁)

Выполнив аналогичные расчеты, найдем потенциалы остальных точек:

В нашем случае потенциал последней точки равен нулю, что дает возможность также проверить правильность расчета токов (как и при составлении баланса электрических мощностей) и потенциалов.

Результаты расчета используем для построения потенциальной диаграммы. На оси абсцисс откладывают сопротивление участков в той последовательности, как они встречаются при обходе контура от точки с нулевым потенциалом. Вдоль оси ординат откладывают рассчитанные ранее потенциалы соответствующих точек (рисунок 4).

Рисунок 4 – Потенциальная диаграмма контура

Пример 2. Расчет линейной электрической цепи синусоидального тока

Электрическая цепь5, подключённая к сети переменного тока с напряжением U = 220 В и частотой 50 Гц, имеет следующие параметры: активные сопротивления r₁ = 15 Ом, r₂ = 10 Ом; индуктивности L₁ = 63,8 мГн, L₂ = 47,8 мГн, L₃ = 63,7 мГн;  ёмкости С₂ = 318 мкФ, С₃ = 212,3 мкФ.

Необходимо:

1 Рассчитать сопротивления реактивных элементов цепи, комплексное эквивалентное сопротивление всей цепи.

2 Определить действующие значения токов в ветвях с помощью комплексных чисел.

3 Определить показания приборов, указанных на схеме.

4 Составить баланс активных и реактивных мощностей.

5 Определить характер (индуктивный или ёмкостный) и параметры элемента, который необходимо включить последовательно с источником питания, чтобы в цепи возник резонанс напряжений.

6 Построить векторную диаграмму, на которой изобразить векторы всех токов и напряжений на участках цепи.

Решение

Рисунок 5 – Схема разветвлённой цепи переменного тока

1. Задачу начинаем решать с преобразования реальных параметров цепи в их символьные изображения в комплексной форме. Первым преобразуем источник питания. В примере задано действующее значение его напряжения, начальную фазу принимаем равной нулю (ψ_U = 0), что позволяет записать действующее напряжение в комплексной форме записи