Микроэкономика_Гальперин, Игнатьев, Моргунов_Задачник_2007 -160с

Спрос, предложение, равновесие. 11

в) В приведенных рассуждениях на цену перевозок не накладывалось никаких ограничений. Однако ясно, что перевозки с правого берега на левый будут существовать, если объем перевозок 400 – 25t — положительная величина, т. е. t < 16. При t = 16 объем перевозок обращается в нуль и рынки каждого города фактически изолируются.

Решение задачи № 4

Найденная в предыдущей задаче зависимость объема перевозок от цены фактически представляет собой функцию спроса на транспортные услуги:

QТD = 400 – 25t.

При заданном предложении QТS = –50 + 20t равновесие на рынке транспортных услуг установится при t = 10. При этом объем перевозок QТ = 400 – 25 ∙ 10 = 150, цены в городах PЛ = 81 и PП = 75, объемы спроса и предложения:

QЛD = 760; QЛS = 610;

QПD = 870; QПS = 1020.

Решение задачи №5

Если QD(•) — функция спроса на некотором рынке, P — установившаяся цена, при которой спрос полностью удовлетворяется, то излишек покупателей (SD) выражается интегралом

Pmax

SD = ∫ QD(p)dp,

P

где Pmax — верхняя граница цены спроса. Если спрос описывается линейной функцией QD(p) = a – bp, то Pmax = a/b и

где Q = QD(P) — установившийся объем спроса.

Аналогично, если QS(•) — функция предложения и при установившейся цене P весь предлагаемый товар продается, то излишек продавцов (SS) равен:

SS = ∫P QS(p)dp,

Pmin

где Pmin — нижняя граница цены предложения. Если спрос

описывается линейной функцией QS(p) = –c + dp, то Pmin = = c/d и

а) В обоих городах Pmax = 100, Pmin = 20. Подставляя в приведенные выше формулы значения равновесных цен PЛ = 84, PП = 68 и объемов QЛ = 640, QП = 960, находим:

б) Суммарные излишки покупателей в обоих городах составляют SD = 20480, продавцов — SS = 38400.

Общественные выгоды обмена на отдельном рынке измеряются суммой излишков продавцов и покупателей. На

рынке Левого SЛ = SЛD + SЛS = 25600, на рынке Правого SП =

= SПD + SПS = 38 400.

в) Суммарные излишки всех субъектов обоих рынков равны 64000.

Решение задачи № 6

Излишки, рассчитанные по результатам решения за-

дачи № 2 (PЛ = PП = 76, QЛD = 960, QЛS = 560, QПD = 720, QПS = 1120), сведены в таблицу (см. ниже).

Сравнение с результатами решения предыдущей задачи показывает, что объединение рынков приводит к увеличению суммарных излишков участников рынка в каждом из городов, но при этом происходит перераспределение выгод:

Спрос, предложение, равновесие. 13

у покупателей Левого и продавцов Правого выгоды увеличиваются, а у продавцов Левого и покупателей Правого — убывают.

Решение задачи № 7

В отношении объемов и цен спроса и предложения ситуация не отличается от рассмотренной в задаче № 3. Поэтому здесь можно воспользоваться результатами, полученными при решении этой задачи. При расчете излишков используем формулы (1) и (2), приведенные в решении задачи № 5. Приведем вначале решение для пункта б).

Цены в городах: PЛ = 76 + 0.5t; PП = 76 – 0.5t.

Объем перевозок: QТS = 400 – 25t. По этим результатам находим:

SЛD = 12 (24 − 0.5t) (960 −20t) = 11520 − 480t +5t2

SПD = 12 (24 + 0.5t) (720 +15t) = 8640 + 360t + 3.75t2

SЛS = 12 (56 + 0.5t) (560 +5t) = 15680 + 280t +1.25t2

SПS = 12 (56 − 0.5t) (1120 −10t) = 31360 −560t + 2.5t2

Сложив все приведенные функции, находим суммарный излишек всех участников рынка:

SΣ = 67200 – 400t + 12.5t2.

При беспошлинном перемещении товара (t = 0) суммарный излишек составлял бы 67200; суммарные потери излишка составляют 400t – 12.5t2. Пошлинный сбор равен 400t – 25t2. Таким образом, чистые общественные потери (SL, Social Loss) — разность между потерями излишка и пошлинным сбором — составляют

SL = (400t – 12.5t2) – (400t – 25t2) = 12.5t2.

При t = 4 потери излишка участников рынка равны 1400, пошлинный сбор равен 1200, так что по условиям задания а) получаем: SL = 200.

Задача № 4

Домашнее хозяйство потребляет два блага в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией полезности U(x, y). Найти функцию спроса домашнего хозяйства, если

а) U(x, y) = x3y2; б) U(x, y) = xαyβ.

Задача № 5

Предпочтения двух индивидов описываются функциями полезности

Различаются ли предпочтения этих индивидов?

Задача № 6

Рассмотрим модель, в которой предпочтения потребителя относятся не к продуктам, а к характеристикам, которыми продукты обладают (модель Ланкастера). Допустим, что рассматривается множество продуктов, обладающих двумя характеристиками (X и Y).

Обозначим (xi, yi) количественные меры соответствующих характеристик в единице i-го продукта, причем простоты ради в качестве единицы каждого продукта принимается количество продукта, приобретаемое за одну денежную единицу. Будем считать, что предпочтения в пространстве

характеристик удовлетворяют тем же аксиомам, что и предпочтения в пространстве благ в традиционной теории.

В таблице (см. выше) приведены данные по шести различным продуктам. Какие из них не имеют перспектив быть проданными на рынке?

Задача № 7

Домашнее хозяйство потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y; его доход I = 60, а предпочтения опи-

сываются функцией полезности U(x, y) = xxy+ y .

а) Найти объемы спроса на каждое из благ при ценах благ pX = 9, pY = 4.

б) Определить зависимости объемов спроса на каждое из благ от цен и дохода.

в) Определить характер взаимозависимости благ в потреблении.

Задача № 8

Домашнее хозяйство потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией

полезности U(x, y) = x + y . Известен доход: I = 60.

а) Найти объемы спроса на каждое из благ при ценах благ pX = 10, pY = 5.

б) Определить зависимости объемов спроса на каждое из благ от цен и дохода.

в) Определить характер взаимозависимости благ в потреблении.

Задача № 9

Домашнее хозяйство потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией по-

лезности U(x, y) = y − x1 , цены благ равны pX = 16, pY = 25.

а) Найти объемы спроса на каждое из благ при значениях дохода I = 70; I = 15.

б) Определить зависимости от дохода объемов спроса на каждое из благ.

Задача № 10

Индивид потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y соответственно. Функция полезности индивида:

U = ax + by + xy, a > 0, b > 0.

а) Пусть a=10, b=25. Определить объемы потребления благ, если цены благ pX = 5, pY = 2 при доходе индивида I = 200;

б) то же при доходе индивида I = 100;

в) при каких соотношениях дохода и цен оптимум потребителя будет внутренним (x > 0, y > 0)?

Задача № 11

Домашнее хозяйство приобретает благо X, производимое естественной монополией, по цене pX = 10 в количестве x = = 5. Государство, регулирующее цену продукта естественной монополии, сочло целесообразным повысить цену до pX′ = = 14 и выплачивать домашнему хозяйству компенсацию в

размере ( pX′ – pX ) ∙ x = 20.

а) Изменилось ли благосостояние домашнего хозяйства, и если да, то в какую сторону?

б) Проверить утверждение на следующем примере: домашнее хозяйство кроме блага X потребляет еще одно благо, Y, цена которого pY = 1 не изменилась; доход домашнего хозяйства I = 100, а функция полезности U(x, y) = xy .

Задача № 12

Классификация благ, основанная на кривых Энгеля, учитывает изменения доли дохода, направленной на покупку рассматриваемого блага, в зависимости от изменения дохода. Докажите следующие утверждения:

2.2 Решения

Решение задачи № 1

Из графика видно, что с ростом дохода от нуля до некоторого уровня объем потребления товара возрастает, так что благо является нормальным; при дальнейшем росте дохода данный товар вытесняется некоторым заменителем, объем его потребления снижается и товар становится низшим.

Найдем границы области возрастания объема потребления; для этого продифференцируем объем потребления по доходу:

Производная обращается в нуль при I = 20; при меньших значениях дохода производная положительна, и объем возрастает, при бόльших — убывает. Таким образом, товар является нормальным при I < 20 и низшим — при I > 20.

Для того чтобы выяснить, при каких уровнях дохода товар является необходимым благом, а при каких — роскошным, целесообразно воспользоваться эластичностью объема потребления по доходу: