Микроэкономика_Гальперин, Игнатьев, Моргунов_Задачник_2007 -160с

Задача № 28

Пусть в коттеджном поселке в лесном массиве 2 группы владельцев участков (A и B). Их кривые спроса на обработку леса уничтожающим комаров составом QA = 100 − P и QB = 200 − P. Предположим, что эта услуга может быть поставлена предприятиями, работающими на конкурентном рынке и имеющими одинаковые постоянные предельные затраты (МС = 140 д. е.).

28.1.Если уничтожение комаров — общественное благо, то каков его оптимальный объем?

28.2.Если эта услуга оказалась бы частным благом, то каков ее оптимальный объем?

28.3.Если правление поселка проголосовало бы за оптимальный объем этой услуги, то какую сумму налогов надо было бы собрать для полного покрытия ее стоимости? Каким образом распределились бы налоговые счета между группами, если бы они выписывались пропорционально получаемым ими выгодам от данного блага?

28.4.Представьте полученные решения графически.

Задача № 29

В комнате общежития проживают 2 студента. Они потребляют 2 блага: G — картины, Xi — пищу (измеренную в килокалориях). У них одинаковые функции полезности U(G, Xi) = G1/3Y2/3. Цена 1 картины — 100 д. е., цена 1 ккал. — 0.2 д. е. Каждый студент получает стипендию, равную 300 д. е., которую целиком расходует на эти два блага.

29.1.Университет сумел предоставить каждому из них отдельную комнату. Каков будет оптимальный уровень пот-

ребления Gi и Xi каждым из студентов? Определите индивидуальные полезности студентов и их сумму.

29.2.Бюджет университета сократился, и их снова поселили в одной комнате. При этом студент В сумел убедить студента А, что он абсолютно не интересуется живописью. Студент А все-таки покупает 1 картину. Определите индивидуальные полезности студентов и их сумму.

29.3.Покажите, что исход ситуации из предыдущего вопроса неэффективен и объясните почему.

29.4.Найдите эффективное количество G и Xi. Определите индивидуальные полезности студентов и их сумму при условии, что они поделили расходы на картины пополам. Является ли эта ситуация парето-улучшением по сравнению

сисходом ситуации в вопросе 29.2? Что мешает ее достичь на основе добровольного соглашения?

29.5.Допустим, что студент А не смог убедить студента В платить за картины пополам. В результате студент В оплачивает только 25% стоимости картин, а студент А — 75%. Определите индивидуальные полезности студентов и их сумму. Является ли эта ситуация парето-улучшением по сравнению с исходом ситуации в вопросе 30.2? Может ли она быть достигнута на основе добровольного соглашения?

Задача № 30

В экономике производится одно частное благо (X) и одно общественное благо (G). Граница производственных возможностей X2 + 100G2 = 5000. В экономике 100 одинаковых индивидов с одинаковыми функциями полезности

Ui = Xi0.5G0.5.

30.1. Если бы рынок для благ X и G был совершенно конкурентным, сколько бы этих благ было произведено? Какова была бы полезность каждого из индивидов?

32.1.На основе данных таблицы установите, какая из альтернатив окажется в выигрыше при голосовании по правилу простого большинства:

а) мост; б) яхт-клуб;

в) больница; г) ни одна из названных, так как мы имеем здесь дело

с«парадоксом голосования».

32.2.Партия пенсионеров по-прежнему всем альтернативам предпочитает строительство больницы. Однако строительство моста теперь предпочитает строительству яхт-клуба. Какая из альтернатив окажется в выигрыше при голосовании по правилу простого большинства:

а) мост; б) яхт-клуб;

в) больница; г) ни одна из названных, так как мы имеем здесь дело

с«парадоксом голосования».

32.3.Если председатель парламента поставил на голосование из вопроса 32.2. альтернативы: 1) мост–яхт-клуб; 2) яхт-клуб–больница, строительство какого объекта выберут парламентарии?

32.4.Если председатель парламента поставил на голосование из вопроса 32.2 альтернативы: 1) больница–мост; 2) мост–яхт-клуб. Строительство какого объекта выберут парламентарии? С какой проблемой мы сталкиваемся в воп-

росах 32.3 и 32.4?

Задача № 33

В муниципальном поселковом совете — пять партий с равным числом мест. Эти партии адекватно выражают предпочтения пяти групп избирателей («С роду так», «Бедняк»,

«Середняк», «Здоровяк» и «Крупняк»). В таблице представлены их предельные выгоды (МВ) от 1 фонаря уличного освещения в зависимости от количества фонарей.

счетную цену (numeraire), т. е. за 1. Пусть тогда р будет относительной ценой блага X. Следовательно, бюджетное ограничение для индивида 1: pX1 + Y1 = 1, а для индивида 2: pX2 + Y2 = р.

Затем индивид 1 выбирает X1 так, чтобы максимизировать X1α (1 − X1)1−α . Из условия первого порядка получаем

X1 = αp , что через подстановку в бюджетное ограничение

дает нам X2 = 1 − α.

Индивид 2 выбирает X2, так чтобы максимизировать X2β(p − pX1)1−β . Из условия первого порядка получаем X2 = β, что через подстановку в бюджетное ограничение дает нам

Y2 = p(1 – β).

Из закона Вальраса известно, что в случае двух рынков равновесие на одном из них означает равновесие и на другом. Выберем для рассмотрения рынок блага X. Тогда X1 + X2 = 1,

или αp + β = 1. Следовательно, равновесная цена p* = 1α− β .

Она дает нам равновесное размещение благ между индиви-

дами: X1 = 1 − β; X2 = 1 − α; Y1 = β; Y2 = α.

Решение задачи № 2

Цену блага Y примем за счетную цену (numeraire), т. е. за 1. Пусть тогда р будет относительной ценой блага X. Следовательно, бюджетное ограничение для индивида A: pXА + YА = 2р, а для индивида B: pXВ + YВ = 3.

Индивид A выбирает XА так, чтобы максимизировать X1/2А (2p − pXA )1/2 . Из условия первого порядка получаем XА = 1, что через подстановку в бюджетное ограничение

дает нам YA = p.

Индивид B выбирает XB, так, чтобы максимизировать XB1/3(3 − pXB)2/3 . Из условия первого порядка получаем XB =

= 1р , что через подстановку в бюджетное ограничение дает нам YB = 2.

Из закона Вальраса известно, что в случае двух рынков равновесие на одном из них означает равновесие и на другом. Выберем для рассмотрения рынок блага X. Тогда XA + XB = 2

или 1 + 1p = 2. Следовательно, равновесная цена p* = 1. Она

дает нам равновесное размещение благ между индивидами:

XA = YA = 1 и XВ = 1,YВ = 2.

Решение задачи № 3

Цену блага X примем за счетную цену (numeraire), т. е. за 1. Затем найдем функции спроса индивидов А и В на благо Y как функции от его цены (p).

YA = m −ppYA = 2mp .

Так как изначальное наделение для индивида А — 10 единиц блага Y, то можно определить, что m = 10p. Следовательно, индивид А предъявит спрос на 5 единиц блага Y

Так как изначальное наделение для индивида В — 20 единиц блага X и 5 единиц блага Y, то m индивида В: 20 + 5р. Следовательно, индивид В предъявит спрос на благо Y, равный:

20 + 5р .

1 + р

Отсюда следует, что суммарный со стороны индивидов A и В на благо Y:

5 +

Поскольку изначальное наделение благом Y индивида А составляло 5 единиц, а индивида В — 10 единиц, то легко заключить, что суммарное предложение блага Y равно 15

единиц. Отсюда:

5 + 201 ++ 5рр = 15.

Решение этого уравнения дает нам равновесную цену p* = 2. При данной равновесной цене спрос индивида B на благо Y = 10. Следовательно, равновесное размещение благ между индивидами: XA = 10, YA = 5; XB = 10, YB = 10.

Решение задачи № 4

4.1. Определим спрос на Q1 и Q2 и выразим его через I. Для этого составляем функцию Лагранжа:

V = Q10.5Q20.5 + λ(I − PQ1 1 − PQ2 2).

Максимизируем полезность, для чего находим условия первого порядка:

Умножаем обе части уравнения (i) на Q1 и упрощаем выражение:

0.5Q10.5Q20.5 – λP1Q1 = 0;

0.5U – λP1Q1 = 0;

Q1 = αU . (i′)

λP1

Аналогично умножаем обе части (ii) на Q2 и упрощаем выражение. Получаем:

120 Часть VI.

Следовательно С1 = PKK1 + PLL1 = 2PLL1.

Теперь осталось только избавиться от L1 в данном выра-

жении. Для этого подставляем полученное выше выражение

предельных издержек есть функция предложения Q1. Определим функцию предложения Q2. Так как в произ-

водстве в секторе 2 отсутствует капитал, то ее нахождение значительно упрощается.

При совершенной конкуренции на рынке труда:

Теперь для нахождения функции предложения Q2 надо составить функцию общих затрат C2.

C2 = PLL2 = PL 23 Q2.

Тогда функция предложения Q2:

P2 = MC = 23 PL.