20

§6 Постулаты квантовой механики

1. Векторы и операторы

2. Постулаты квантовой механики

3. Операторы динамических переменных. Координатное представление

4. Оператор энергии

5. Оператор импульса

6. Момент импульса (собственные векторы, собственные значения)

7. Спин.

Мы с вами обсудили некоторые аспекты физики систем атомных масштабов, волновые свойства частиц, квантование энергии, туннельный эффект… Это всё были отдельные фрагменты, не связанные более-менее друг с другом, это ситуация на заре создания теории, когда обнаружилась длина волны де Бройля, интерференция. И многого мы вообще не знаем, например, знаем волновую функцию, а что мы получим при измерении импульса? Мы ещё не умеем отвечать на такие вопросы. Сейчас мы обсудим как устроена окончательная теория.

От первой модели атома Бора и до окончательной формулировки теории прошло 10-12 лет,¹) и мы сейчас обсудим, как вообще строится вся эта теория.

Если сравнивать с классической механикой, раз нет траектории, скоростей, ускорений, сил, то понятно, что математическая структура должна быть другой.²) Можете сейчас забыть про классическую механику, можете даже забыть то, что мы до сих пор тут обсуждали, и сейчас мы снова будем смотреть незамутнённым взглядом на новую теорию. И тут нужны некоторые математические подмостки.

1. Векторы и операторы

Вы знаете векторную алгебру (линейную алгебру), и заодно вы увидите, что не зря вы её изучали, оказывается, есть к чему её применить.

Обозначения:

–вектор a в n-мерном (может быть, бесконечномерном) абстрактном пространстве. Столбец из n чисел задаёт компоненты вектораa в n-мерном пространстве. Когда вы видите такую штуку , это означает, что мы имеем наборn чисел, которые можно организовать в матрицу-столбец.

–вектор сопряжённый , это матрица-строка.³)

Удобство этих обозначений состоит вот в следующем: – это число, скалярное произведение двух векторов:. Ясно, что такая штука– скалярное произведение вектора на сопряжённый ему вектор, это будет действительное число,. А вообще, кстати, ясно следующее, что.

Такое равенство расшифровывается так: есть правило, которое векторуставит всоответствие вектор , и это правило обозначают буквой. Говорят, на вектордействует некоторый оператор, в результате действия которого, мы получаем вектор.

Если имеет место такое равенство , то оператор называетсялинейным.¹) Дальше, когда идёт речь об операторах, имеются в виду только линейные операторы.

Каким образом можно задать это правило, то есть как можно задать оператор? Если оператор линейный, то вот такой строчкой:. Эта строчка – сжатое изображение вот такого:. Значит, любой линейный оператор будет представлен квадратной матрицей размерности . Задайте квадратную таблицу , любых чисел навтыкайте туда, эта матрица представляет линейный оператор.

Любая матрица представляет некоторый оператор, из неё можно получить другие матрицы, например, можем устроить транспонированную матрицу (отобразить её относительно главной диагонали), получим другую матрицу, то есть другой оператор. Можно не только сделать транспонированную матрицу, а сначала транспонировать и взять ещё комплексно сопряжённые элементы, ещё одну матрицу получим, получим другой оператор снова.

Если матрица оператора получается из элементов матрицы операторас помощью транспонирования и комплексного сопряжения элементов:, то операторназываетсяэрмитово сопряжённым к оператору .

Если , тогда операторназываетсясамосопряжённым или эрмитовым.¹)

Если , гдеα – число, то вектор называетсясобственным вектором оператора , аα – собственным значением, отвечающим этому собственному вектору.²)

Оказывается, что эрмитов оператор , то есть оператор, для которого верно вот такое равенство, имеетn собственных векторов, которые будем обозначать , при этом собственные значения, отвечающие этим векторам действительны, то естьи. И ещё замечательная вещь такая: скалярное произведение двух собственных векторов равно:,собственные векторы эрмитова оператора ортогональны, а соответствующие им собственные значения действительны. Это наш реквизит, это факты математические, а теперь возвращаемся к физике.