22

§5. Уравнение Шрёдингера

1. Решение уравнения Шрёдингера для свободной частицы

2. Длина волны Дебройля (де Бройля)1)

3. Волновые пакеты. Соотношения неопределённостей

4. Расплывание волновых пакетов

5. Стационарные состояния

6. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект

7. Связанные состояния. Частица в ящике

Волновая функция описывает состояние, состояние любого физического объекта как-то эволюционирует во времени, и должно быть уравнение, которое будет описывать изменение со временем волновой функции, а ещё состояние объекта изменяется в зависимости от окружающей среды, значит, должно быть уравнение, описывающее изменение состояния в заданной обстановке. Кстати, в классической механике это что за уравнение? Второй закон Ньютона. Уравнение Шрёдингера должно играть здесь ту роль, которую закон Ньютона в классической механике. Понятно, что, если состояние задаётся такой функцией, прилепить сюда Второй закон Ньютона невозможно – он оперирует координатами, ускорениями, а у нас ничего такого нет. Вот уравнение Шрёдингера (нерелятивистское) играет роль Второго закона Ньютона и выглядит так:

(1)

Функция – потенциальная энергия частицы в заданном поле сил. Вот, во Втором законе Ньютона окружающая обстановка вводится в уравнение посредством сил, а здесь потенциальная энергия. Могут быть силы и не потенциальные, и тогда это уравнение будет писаться иначе, но мы к этому позднее ещё вернёмся.

Откуда оно взялось? Ну, это интересный вопрос, как Шрёдингер додумался до этого уравнения, но он не имеет отношения к делу. В теории исходные уравнения постулируются, нет никаких классических способов доказать справедливость уравнений, справедливость или несправедливость определяется тем, работает ли математическая теория, построенная на базе этих уравнений.¹) Это уравнение подтверждается тем, что теория, построенная на базе этого уравнения работает и даёт правильные предсказания для всех ситуаций, где она применима.

1. Решение уравнения Шрёдингера для свободной частицы

Смысл этого уравнения, как и уравнений Максвелла, мы будем усматривать из некоторых конкретных ситуаций. Когда мы переберём все возможные ситуации, тогда мы и осознаем смысл уравнения, другого понятия смысла и быть не может.

Свободная частица – это простейший объект в классической механике и, соответственно, простейший объект в квантовой механике. Что такое свободная частица? Это частица, на которую не действуют никакие силы. Как узнать, действуют или не действуют? Возникает наглядное представление о свободной частице: на всём белом свете есть одна частица и всё, удалили всю вселенную, тут заведомо на неё никто не действует, потому что, просто, больше никого нет. Если свободная частица подчиняется законам классической механики, то в любой инерциальной системе она либо неподвижна, либо движется с постоянной скоростью. Теперь этот объект мы будем рассматривать в рамках этого уравнения. Слова «свободная частица» означают, что .¹) Можно положить константу равной нулю, не теряя общности, потому что потенциальная энергия определена с точностью до константы, поэтому мы положим, и уравнение будет иметь вид:

(2)

Это уравнение в частных производных, я его не буду решать, я просто предъявлю решение, и мы убедимся, что это действительно решение. В качестве кандидата на решение выдвигаем вот такую функцию: , это уравнение плоской волны (поскольку там волновые свойства наблюдаются, испытаем в качестве решения плоскую волну). Будем испытывать:

фазу обозначим буквойu,

,²)

, а , таким образом,, теперь.³)

Подставляем то, что мы добыли, в уравнение (мы хотим убедиться, будет ли эта функция решением уравнения (2)):. И мы видим, что, если, то предъявленная функция будет решением.

Значит, функция

(3)

удовлетворяет уравнению Шредингера для свободной частицы, если константы k,ω не любые, взятые с потолка, а связаны таким образом:

. (4)

Забегая вперёд, дальше будет ясно почему так, а сейчас это будет голословное утверждение: Волновая функция (3) описывает частицу с энергиейи с импульсом. Откуда берётся такая интерпретация пока аргументировать не можем, а пока это условие (4) означает, что! Это, конечно, симпатичный результат, потому чтодействительно, так как уравнение (1) не релятивистское,.

Теперь, конечно, хочется взглянуть на волновую функцию на базе тех наших смутных знаний о ней. Мы знаем, что есть вероятность обнаружить частицу, смотрим, оказывается. Вероятность обнаружить частицу в этом состоянии (с определённой энергией и с определённым импульсом) всюду одинакова. Волновая функция (3) осциллирует, это бегущая волна, вроде есть движение, но функцияΨне наблюдаема, это математическая функция, за функциейΨне стоит никаких наблюдаемых величин, а наблюдаема, вероятность, вероятность можно измерять: один раз поймали частицу в этом состоянии, другой раз ловим и набираем статистику, оказывается, что мы будем её ловить с одинаковой вероятностью где угодно. Распределение вероятности застывшая картина (не зависит отt), то есть всё наблюдаемое распределение застывшее. Конечно, одинаковая вероятность найти частицу здесь или в другом угле вселенной неприятна, уж слишком далеко это представление, но надо иметь в виду, что само решение физически не реализуемо: в электродинамике плоская волна обладала бы бесконечной энергией, но решение на самом деле очень полезно.

Математический факт такой, что беря суперпозицию этих функций со всевозможными частотами и волновыми векторами, мы можем получить все решения уравнения Шрёдингера для свободной частицы. Общее решение уравнения Шрёдингера для свободной частицы представляется в виде суперпозиции функций вида (3):

То есть задайте любой вектор , задайте любую константу, запишите функцию (3), ω через векторвыражается, получится частное решение. Суммируя по всевозможным векторам, и подбирая различные константы, вы можете изобразить любое решение этого уравнения.

Мы написали общее решение уравнения. Вы, конечно, должны были удивиться: функция (3) есть решение волнового уравнения, которое выглядит так:

(5)

В (2)тоже, но первая производная! Это замечательное обстоятельство – поиск комплексного решения математически приводит к тому, что уравнение (2) удовлетворяется уравнением волны, хотя, его штатная роль – быть решением уравнения (5).