Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции по Матанализу ч

.3.pdf
Скачиваний:
142
Добавлен:
24.07.2017
Размер:
1.19 Mб
Скачать

К У Р С

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Часть 3

2011

Оглавление

 

Оглавление.......................................................................................................................................................................

2

Интегральное исчисление функции одной переменной. .........................................................................................

3

Первообразная функция. Неопределенный интеграл. ...........................................................................................

3

Методы интегрирования. ..........................................................................................................................................

3

Непосредственное интегрирование. ....................................................................................................................

3

Способ подстановки (замены переменных). ......................................................................................................

4

Интегрирование по частям. ..................................................................................................................................

6

Интегрирование элементарных дробей...................................................................................................................

7

Интегрирование рациональных функций. ...............................................................................................................

9

Интегрирование некоторых тригонометрических ............................................................................................

13

функций. ......................................................................................................................................................................

13

Интегрирование некоторых иррациональных функций. ....................................................................................

16

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через ...............................................................................

21

элементарные функции. ...........................................................................................................................................

21

Определенный интеграл..............................................................................................................................................

23

Определение определённого интеграла. .................................................................................................................

23

Свойства определенного интеграла. ......................................................................................................................

25

Формула Ньютона-Лейбница ..................................................................................................................................

26

Методы вычисления определенного интеграла....................................................................................................

27

Замена переменных...............................................................................................................................................

27

Интегрирование по частям. ................................................................................................................................

29

Приближенное вычисление определенного интеграла........................................................................................

32

Формула прямоугольников. ...................................................................................................................................

32

Формула трапеций. .................................................................................................................................................

32

Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула). ................................................................

33

Геометрические приложения определенного интеграла....................................................................................

35

Вычисление площадей плоских фигур. ............................................................................................................

35

Нахождение площади криволинейного сектора..............................................................................................

36

Вычисление длины дуги кривой. .......................................................................................................................

36

Вычисление объемов тел. ....................................................................................................................................

37

Объем тел вращения.............................................................................................................................................

39

Несобственные интегралы. .........................................................................................................................................

41

Определение несобственного интеграла 1-го рода...............................................................................................

41

Несобственные интегралы 1-го рода от знакопостоянных функций. .............................................................

42

Абсолютная и условная сходимость интегралов 1-го рода................................................................................

43

Несобственные интегралы 2-го рода. ....................................................................................................................

44

Применение основной формулы интегрального исчисления. .............................................................................

45

Связь между несобственными интегралами 1-го и 2-го рода. ...........................................................................

46

Главные значения несобственных интегралов.....................................................................................................

47

2

Интегральное исчисление функции одной переменной.

Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

Определение: Функция F x называется первообразной функцией функции

f x

на отрезке a,b , если в любой точке этого отрезка верно равенство:

 

 

F x f x .

 

 

 

 

 

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть

бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

 

F1 x F2 x C .

f x называется

Определение: Неопределенным интегралом функции

совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F x C .

Записывают: f (x)dx F(x) C;

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.f (x)dx (F (x) C) f (x);

2.d f (x)dx f (x)dx;

3.dF(x) F(x) C;

4.(u v)dx udx vdx; где u, v, w – некоторые функции от х.

1. C f (x)dx C f (x)dx;

Пример: (x2 2sin x 1)dx x2 dx 2 sin xdx dx 13 x3 2 cos x x C;

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Методы интегрирования.

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл

Значение

Интеграл

Значение

3

 

1

tgxdx

 

 

-ln cosx +C

 

9

e x dx

 

 

 

 

 

 

 

ex + C

 

2

ctgxdx

 

 

 

 

 

ln sinx + C

10

cos xdx

 

 

sinx + C

 

3

a

x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x

 

 

11

sin xdx

 

 

-cosx + C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

1

arctg

x

C

12

 

1

 

 

 

dx

 

 

 

tgx + C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

cos 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

dx

 

1

 

ln

 

x a

 

 

C

13

 

 

 

1

 

 

dx

 

 

-ctgx + C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x x2 a2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin a + C

 

 

 

x 2 a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

x

 

dx

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C, 1

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

x

 

C

 

16

 

 

1

dx

 

 

ln

 

tg

x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

 

требуется найти

значение

интеграла

 

dx

. На основе

известной

формулы

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференцирования ln x

 

 

 

можно сделать вывод, что искомый интеграл равен ln x C ,

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны ln( x)

 

 

 

( 1)

 

.

x

x

Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

dxx ln x C

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется

найти

интеграл

f (x)dx , но сложно отыскать

 

 

 

первообразную, то с помощью замены x t и dx

t dt получается:

 

 

 

 

f (x)dx f ( (t)) (t)dt

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

 

 

 

d f (x)dx d

 

 

f [ (t)] (t)dt

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f x dx f t t dt

4

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл sin x cos xdx .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt t1/ 2 dt

2

t 3 / 2

C

2

sin 3 / 2

x C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

x(x2 1)3 / 2 dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замена t x2 1;

 

dt 2xdx;

 

dx

 

dt

; Получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 3 / 2

dt

 

 

1

t 3 / 2 dt

1

 

2

t 5 / 2

C

t 5 / 2

 

C

(x2 1)5 / 2

 

 

C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. tgxdx,

 

ctgxdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgxdx

sin xdx

 

d cos x

ln

 

cos x

 

C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctgxdx

cos xdx

 

d sin x

 

ln

 

sin x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для

различных типов функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим линейную замену переменных t ax b . Тогда

dt adx, dx

1

dt .

 

Поэтому, если известно, что F x первообразная к f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x dx F x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то первообразная к функции

f ax b равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ax b dx 1a F ax b C

Пример. cos 2xdx 12 sin 2x C

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

C

 

 

arctg

 

 

 

C

 

x2 a2

a2

 

x a 2 1

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 a

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

Аналогично доказывается, что

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

x

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Вычислить интегралы

 

 

dx

,

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

1

 

sin2 x 2 cos2 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

sin x

 

2

 

1

 

cos x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

sin x

2

 

sin x 2 cos x

 

2

 

 

 

2

 

cos x

 

2

2

sin x 2

 

 

ln

 

cos x

2

 

ln

 

sin x 2

 

C ln

 

tg x 2

 

C

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

t x 2

 

 

 

 

 

 

dx

ln

 

 

 

 

 

t

 

C ln

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

 

tg

 

 

 

 

 

cos x

sin x 2

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведём в конце ещё несколько примеров применения метода замены переменной

Пример.

ecos2 x sin 2xdx t ecos2 x ; dt ecos2 x 2 cos x sin x sin 2x ecos2 x dx; dt t C

ecos2 x C.

Пример.

5

(2x 1)20dx 2x 1 t;

dt 2dx; t 20

1

dt

1

 

t 21

1

C

t 21

C

(2x 1)21

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

21

 

2

42

 

42

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

dx sin

3 / 2 x cos xdx sin x t;

dt cos xdx t 3 / 2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t 1 / 2 C 2sin 1 / 2 x C

 

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

uv u v uv

где u и v – некоторые функции от x .

В дифференциальной форме: d uv udv vdu

Проинтегрировав, получаем: d (uv) udv vdu , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

uv udv vdu

или

udv uv vdu ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Пример. x2

 

2

; dv sin xdx;

 

x2 cos x cos x 2xdx

sin xdx u x

 

 

 

du 2xdx;

v cos x

 

u x;

dv cos xdx;

x2 cos x 2 x sin x sin xdx x2 cos x 2x sin x 2 cos x C.

 

 

 

 

du dx;

v sin x

 

 

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Пример.

Вычислить интегралы eax cos bxdx,

 

 

eax sin bxdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

u eax;

du aeaxdx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

eax cos bxdx

 

 

eaxd sin bx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

dv cos bxdx;

v

sin bx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

1

eax sin bx

 

a

sin bx eaxdx

1

eax sin bx

a

 

eaxd cos bx

 

 

 

 

 

 

b

2

 

 

 

b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

eax sin bx

a

eax cos bx

a

 

eaxd cos bx

1

eax sin bx

a

eax cos bx

 

 

2

2

b

2

 

b

 

 

 

 

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

a2 I b2

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

 

a2 b2

I

 

b

 

eax sin bx

a

eax cos bx

 

b2

b2

b2

 

 

 

 

 

eax cos bxdx

 

eax

b sin bx a cos bx C

 

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример.

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x2 2 x 2

 

 

 

 

 

2 x 2 2 x 2

dx

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x x 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x 2

 

 

 

2 x 2

 

 

 

 

 

 

2 x 2

 

 

2 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

x

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

5 x

dx

u x

 

 

 

;

 

 

dv e

 

 

 

 

 

dx;

 

1

 

5 x

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

5 x

2xdx

 

x 2 e

5 x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

5 x

dx

 

 

 

 

x

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 x

 

 

 

 

e

 

x

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xe

 

 

 

 

 

 

 

 

2xdx;

 

v

e

5

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x;

 

 

dv e

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xe5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

x 2 e5 x

 

 

 

2

 

1

 

 

5 x

 

 

 

 

 

 

 

x 2 e5 x

 

 

 

2xe5 x

 

 

 

2

 

e

5 x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du dx;

 

v

 

 

 

 

 

e

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 e5 x

 

 

 

2xe5 x

 

 

 

 

 

2e5 x

 

 

e5 x

 

2

 

 

 

2x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

125

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u ln x;

 

dv

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

1 dx

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2x 2

 

2x 2

 

x

 

2x 2

 

2

 

x3

2x 2

 

 

 

 

 

 

 

du

 

dx;

 

 

v

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

2x

2

 

 

4x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u ln x;

dv xdx;

 

x2

x ln xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

dx;

v

 

;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

x2 ln x

 

 

x2

C

x2

(2 ln x 1) C.

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Пример.

ln x

x2

 

1

dx

x2 ln x

 

1

xdx

 

 

 

 

 

2

 

x

2

 

2

 

 

dx

 

 

 

 

dt

 

1

 

 

1

 

 

 

2tdt

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x t;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2arctgt C 2arctg

x C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1) x

 

 

 

 

(t 2

1)t

t 2

1

 

 

 

 

dx

 

2 x

 

 

2t

 

 

 

 

 

Интегрирование элементарных дробей.

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I.

1

;

 

III.

 

Mx N

;

 

 

 

 

ax b

 

 

ax2 bx c

II.

1

 

;

IV.

 

Mx N

 

 

 

(ax b)m

(ax2 bx c)n

m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и b2 – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

 

 

dx

 

1

 

 

dt

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

t

 

C

 

ln

 

 

ax b

 

C.

 

 

ax b

a

 

t

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.

 

 

dx

 

 

 

1

 

dt

 

 

1

 

 

 

 

C

1

 

C;

(ax b)

m

 

a

m

a(m 1)t

m 1

 

 

a(m 1)(ax b)

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III. Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

Ap

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax

B

 

 

 

 

 

(2x p)

B

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

2x p

 

 

 

Ap

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

px q

 

 

 

x

2

px q

 

 

 

 

 

 

2

 

x

2

px q

 

 

 

x

2

px q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

A

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Ap

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

2

 

 

 

 

2B Ap

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

 

px q

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

px q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

p

2

 

 

 

p

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

4q

p

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

2x p

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4q p 2

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

x 3

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 6x 25

(x 3)2 16

16

 

1

16

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

84x 24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

84x

24

 

 

 

 

 

u 6x 5;

du 6dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

u 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36x 2 60x 48

 

(6x 5)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 2 5x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

14u 70 24

 

 

 

7

 

 

udu

 

 

 

 

23

 

 

 

 

du

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(u 2

23)

 

 

 

 

arctg

 

 

 

C

6

 

 

 

u 2

23

3

u 2 23

3

 

u 2

23

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

ln

 

36x 2

60x 48

 

 

 

 

23

arctg

6x

5

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример.

 

5x 3

 

 

 

 

 

 

 

5x 3

 

 

u x 3;

du dx;

 

 

 

 

 

5u 15 3

 

 

 

 

udu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du 5

 

 

 

x2 6x 40

(x 3)2 49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 2 49

 

 

 

 

 

x u 3;

 

 

 

 

 

u 2 49

 

 

 

 

18

 

du

 

 

5

 

49

 

 

18

 

u 7

 

 

C

5

ln

 

x2 6x 40

 

 

9

ln

 

 

x 4

 

C.

 

 

 

ln

 

u 2

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

u 7

 

 

x 10

 

 

 

u

49

 

2

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа. Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

можно путем выделения в знаменателе полного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ax2

bx c)n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

квадрата представить в виде

 

 

du

 

 

. Сделаем следующее преобразование:

 

 

 

 

 

 

 

(u

2

s)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

1

 

s u 2 u

2

du

1

 

 

 

du

 

 

1

 

u 2 du

 

.

(u

2

s)

n

s

(u

2

s)

n

 

s

(u

2

s)

n 1

s

(u

2

s)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

udu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

u1 u;

 

 

 

du1 du;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u

 

2

 

 

s)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

udu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

 

 

(u

2

 

 

s)

n

 

 

2(n

 

1)(u

2

 

s)

n 1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 2 du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u

2

 

s)

n

 

(2n 2)(u

2

s)

n 1

 

 

2n 2

 

 

(u

2

 

s)

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для исходного интеграла получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u

2

 

s)

n

 

 

 

s

 

(u

2

 

 

 

 

 

n 1

s(2n

2)(u

2

 

s)

n 1

 

s(2n 2)

 

(u

2

s)

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n 3

 

 

 

 

 

 

du

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u

2

 

 

 

n

 

 

s(2n 2)(u

2

s)

n 1

 

s(2n 2)

(u

2

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученная

формула

 

 

называется

рекуррентной. Если

 

 

применить

ее

n-1

раз,

то

получится табличный интеграл

 

 

 

 

du

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 2 s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 2ax b;

 

du 2adx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx (4a)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n dx

 

 

 

 

 

u b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

(ax

 

bx c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2ax b)2 (4ac b2 )

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

; s

4ac b

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (u b)

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4a)n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4a)n

M

 

 

 

 

 

udu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2aN Mb

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

(u

2

 

 

s)

n

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

(u

2

 

s)

n

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

(u

2

s)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

полученном

 

 

 

 

равенстве

 

первый

интеграл

 

 

с

помощью

подстановки

t =

u2

+

s

приводится к табличному tdtn , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше

рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3u 6 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2;

du dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2

4x 7)2

 

((x

2)2 3)2

u 2;

 

 

 

 

(u 2

3)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

udu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

u

2

3;

 

 

3

 

dt

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u

2

3)

2

(u

2

 

3)

2

 

 

 

 

 

 

2

t

2

 

3 2(u

2

 

3)

3 2

 

u

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2udu;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

11u

 

 

 

 

 

11

 

 

arctg

u

C

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

11(x 2)

 

 

 

11

 

 

arctg

x

2

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

6(u 2

3)

 

6 3

 

 

3

 

 

 

 

 

2(x2 4x 7)

 

6(x2 4x 7)

6 3

 

 

 

 

3

 

 

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Q(x)

Теорема: Если R(x) - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x)

P(x)

которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком

9

виде:

1

k

x

2

1

x

2

r

, то эта дробь может

P x x a1

x ak

 

p1x q1

 

pr x qr

быть разложена на элементарные по следующей схеме:

 

Q(x)

 

 

A

 

 

 

 

 

A

 

 

...

 

 

A1

1

 

 

...

 

A

 

 

 

 

 

A

 

 

...

Ak

k

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

k1

 

 

 

 

k 2

 

 

 

 

 

P(x)

x a

 

 

(x a )2

(x a ) 1

(x a

k

)

(x a

k

)2

(x a

k

) k

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

11

x N

 

 

 

 

 

 

M

12

x N

 

...

 

 

M1 x N1

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

12

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 p x q

1

 

(x2 p x q )2

(x2 p x q )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M r1 x Nr1

 

 

 

 

M r 2 x Nr 2

 

 

...

 

M r r

x Sr r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 p

x q

r

 

(x2 p

x q

)2

(x2 p

x q

r

) r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Ai i , Mi i , Ni i

– некоторые постоянные величины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби

на элементарные. Для нахождения величин Ai i , Mi i , Ni i

 

 

применяют так называемый метод

неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

 

 

9x3 30x2 28x 88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2

 

6x 8)(x2

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к.

( x2 6x 8)(x2 4) (x 2)(x 4)(x2

4) , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9x3 30x2 28x 88

 

 

 

 

A

 

 

 

B

 

 

Cx D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)(x

4)(x2 4)

x

2

 

x

4

 

 

x2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители,

получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(x 4)(x2

4) B(x 2)(x2 4) (Cx D)(x2 6x 8) 9x3

30x2 28x 88

( A B C)x3 ( 4A 2B 6C D)x2 (4A 4B 8C 6D)x ( 16A 8B 8D)

9x3

 

30x2 28x 88.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A B C 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 9 A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6C D 30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4A 2B

 

 

 

 

 

 

 

 

D 30 4 A 2B 54 6 A 6B

 

 

 

 

 

 

4B 8C 6D 28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2B 4C 3D 14

 

 

 

 

 

4A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B D

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 A 8B 8D 88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 9 A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 9 A B

 

 

 

 

 

 

 

24 2 A 4B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 A 4B

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 24

 

 

 

 

 

 

 

2B 36 4A 4B 72

6 A 12B 14

 

10B 50

 

 

 

 

2A

4 A

 

 

 

 

 

 

 

B 24 2 A 4B 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5B 35

 

 

 

 

 

2A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 A

 

 

 

 

 

C 9 A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 9 A B

 

 

 

A 5

 

 

 

 

 

 

 

24 2 A 4B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24 2 A 4B

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 A

10B 50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 A 10B 50

 

 

 

C

1

 

 

 

 

 

50 10B 5B 35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итого:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

dx

 

 

3

 

 

dx

x 2

dx 5ln

 

x 2

 

 

3ln

 

x 4

 

 

 

 

x

dx

 

 

2

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

x

2

x

4

x

4

 

 

 

 

x

4

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5ln

 

x 2

 

 

3ln

 

x 4

 

 

 

 

1

ln(x2

4) arctg

x

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

10