Лекции по Матанализу ч

Добавил:

neus500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

cos xdx lim

cos xdx lim sin x

lim(sin b sin 0) lim sin b - не существует.

cos xdx lim

cos xdx lim sin x

lim(sin b sin 0) lim sin b - не существует.

.3.pdf

Скачиваний:

143

Добавлен:

24.07.2017

Размер:

1.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Несобственные интегралы.

Определение несобственного интеграла 1-го рода.

Определение: Пусть функция f x определена и непрерывна на интервале [a,				).
Тогда она интегрируема на любом отрезке a,b ,		b a . Несобственным интегралом 1-го
рода от функции f x на интервале [a, ) называется предел lim			b
			f (x)dx .
		b	a
			a
b
Обозначение: lim f (x)dx f (x)dx
b
a	a

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл

сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится. Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

b			b
f (x)dx lim			f (x)dx
		a	a
			a
	c
f (x)dx		f (x)dx f (x)dx
			c

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

Теорема. (необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла 1-го рода) Для сходимости несобственного интеграла 1-го рода необходимо и достаточно, чтобы для любого числа 0 существовало положительное число A , такое, что неравенство

f ( x)dx

было справедливо всякий раз, когда x x A

Доказательство. Необходимость следует из условия существования предела

	b
	lim f ( x)dx f (x)dx		(*)
b a		a
				a n
Для доказательства достаточности рассмотрим Sn				f ( x)dx , где	n a A . Тогда, в
				a
силу условия (*)
	Sn p Sn
	Sn p Sn

Согласно критерию Коши эта последовательность имеет предел, который обозначим через S , тогда, если x a n получим

x		a n	x
S f (t)dt	S	f (t)dt	f (t)dt	2
a		a	a n

Следовательно,

S lim f (t)dt . Теорема доказана.

x a

Пример.

Несобственный интеграл расходится.

1 dx

Пример.

lim

lim 1

1 - интеграл сходится

b x

A dx

, 1

1 a

Пример.

lim

a x

A a x

1 x a

сходится ,

Таким образом,

a x

расходится,

Случай 1 рассмотреть самостоятельно

Несобственные интегралы 1-го рода от знакопостоянных функций.

Теорема: (первая теорема сравнения) Если для всех х (x a) выполняется условие

0 f (x) (x) и интеграл

(x)dx сходится,

то f (x)dx тоже сходится и

(x)dx f (x)dx .

Теорема: Если для всех х (x a) выполняется условие

0 (x) f (x)

и интеграл

(x)dx расходится, то f (x)dx тоже расходится.

Доказательство

обеих

теорем

основано

на

интегрировании

неравенства

0 (x) f (x) в промежутке

a, A

с последующим переходом к пределу при A

Теорема:

(вторая

теорема

сравнения)

Если

существует конечный предел

f x

lim

k , то интегралы

(x)dx

и f (x)dx сходятся или расходятся одновременно

x x

e x

Пример. Исследовать на сходимость интеграл x dx .

Подинтегральная функция удовлетворяет неравенству		e x	e x ,			x 1. Интеграл
Подинтегральная функция удовлетворяет неравенству		x	e x ,			x 1. Интеграл
		x

e x dx сходится (докажите)
1
Следовательно, искомый интеграл также сходится.

Пример.	dx
Пример.	ln x
2
Подинтегральная функция удовлетворяет неравенству		1		1	,	x 2 . Интеграл
Подинтегральная функция удовлетворяет неравенству		ln x		x	,	x 2 . Интеграл
		ln x		x

2 dxx расходится

Следовательно, искомый интеграл также рассходится.

Абсолютная и условная сходимость интегралов 1-го рода

Теорема: Если

f (x)

dx сходится, то сходится и интеграл f (x)dx .

f x

Доказательство основано на интегрировании неравенства

в промежутке

a, A с последующим переходом к пределу при A

Обратное

утверждение

вообще

говоря неверно, но

если наряду с интегралом от

функции f x сходится и интеграл от

f x

, то в этом случае интеграл f (x)dx

называется

абсолютно сходящимся.

sin x

Пример.

dx второй интеграл сходится,

следовательно первый сходится

абсолютно

Теорема. (Признак Абеля) Пусть

(t)dt

сходится (хотябы и неабсолютно)

(**)

f x

C x a,

2) Функция

монотонна и ограничена, т.е.

Тогда, интеграл

f ( x) x dx сходится

Доказательство.

По второй теореме о среднем значении,

при любых

A a

будем иметь

f (x) x dx f A x dx f A

x dx

где A A

Ввиду условия (**) для любого 0 существует число A0

A , такое, что при

A A0

будет выполнено

x dx

Так как функция

A0 находим

f x монотонно и ограничена при A

f (x) x dx

f A

x dx

f A

что влечёт за собой сходимость интеграла

Теорема. (Признак Дирихле) Если f x 0 монотонно при x , и если

(t)dt

C const

при x

(***)

Тогда, интеграл

f ( x) x dx сходится

Доказательство. Пусть выполнено условие (***). Тогда для любого 0 существует число A , такое, что

f x

при x

A имеем

Следовательно, по теореме о среднем при A

f (x) x dx

f x dx

x dx

2Af

что и является условие сходимости

Пример. sinx x dx сходится.

В самом деле f x 1x 0 монотонно

sin tdt cos1 cos x 2

Следовательно, по признаку Дирихле этот интеграл сходится. Для того, чтобы доказать, что этот интеграл сходится условно, надо доказать расходимость

sin x

sin 2 x имеем

В самом деле, в силу неравенства

sin x

sin 2 x

cos 2x

1 x

sin x

где первый интеграл расходится, а второй аналогичен

dx .

sin x

Следовательно,

интеграл

расходится,

а значит интеграл

dx сходится

условно.

Несобственные интегралы 2-го рода.

Определение. Если подынтегральная функция неограниченна на промежутке интегрирования, то интеграл

f (x)dx

называется несобственным интегралом второго рода.

Если в точке x b функция либо неопределена, либо разрывна, то указанный интеграл понимается в виде предела

b	f (x)dx lim		b
	f (x)dx lim		f (x)dx
a		0	a
			b
Если интеграл указанный предел		существует и конечент, то интеграл f (x)dx -

сходится, в противном случае - расходится.

Аналогично, если в точке x a функция терпит разрыв, то

b	f (x)dx		c
	f (x)dx	lim	f (x)dx .
a		0 a

Если функция f(x) имеет разрыв в точке x с на промежутке a,b , то

b	c	b			c 1			b
	f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx	lim		f (x)dx	lim	f (x)dx
a	a	c		1 0	a		2 0 c 2

Таких точек внутри отрезка может быть несколько. Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.

. Имеем, при 1

Пример. Исследовать сходимость интеграла

x a

lim

x a

1 x a

												1		,
	1					1		1						,
	1					1		1					1
	1		lim				1	1	1 b a
	1	0				b a						1
									,			1
При 1, получим
b	dx					b	dx		ln	x a	b
	dx			lim			dx	lim
				lim				lim
a x a				0 a x a				0			a
											a

	lim	ln		b a	ln
	lim	ln		b a	ln
	0

Таким образом, рассматриваемый интеграл сходится

при 1 и расходится при

Применение основной формулы интегрального исчисления.

Пусть функция f x определена в промежутке			a,b и интегрируема в собственном
смысле в любом прмежутке a,b , в то время как			b , служит для неё особой точкой.
Тогда, если для f x в промежутке a,b		существует первообразная F x , то
b
f x dx F b F a F x	b

	a

a

и существование несобственного интеграла (с несобственностью в точке b ) равносильно существованию предела

lim F b0

Если этот предел существует, то его естественно принять за значение F b

первообразной функции при x b . Для вычисления несобственного интеграла имеем таким образом формулу обычного вида

b	f x dx F b F a F x	b
	f x dx F b F a F x	b
a		a
a
Та же формула имеет место и вслучае если особая точка лежит внутри промежутка

или при наличии нескольких особых точек при непременном условии, что первообразная
F x является непрерывной на всём промежутке a,b
8	dx
Пример.
Пример.	3
1	3	x
			F x	3 3
Особая точка x 0 , но первообразная				3 3	x2	- непрерывна в этой точке,
Особая точка x 0 , но первообразная				2	x2	- непрерывна в этой точке,
				2
следовательно
	45

8	dx		3	3			8	9
8	dx		3	3		2	8	9
					x
	3		2		x			2
1	3	x		2			1
1		x					1
Пример.						2xdx		не существует, так как ln	x2 1	обращается в бесконечность в
						2xdx

				2 x2 1
				2 x2 1
особых точках x 1

Для несобственных интегралов можно сформулировать такие же признаки сходимости, как и для несобственных интегралов первого рода (предлагается сделать самостоятельно). Мы же рассмотрим ещё один пример

a sin xdx
Пример.
Пример.	x
0	x
0
Особая точка x 0 , в окрестности этой точки		sin x		a
		sin x	~ 1 и интеграл	dx a сходится
		x	~ 1 и интеграл	dx a сходится
		x		0
				0

Таким образом, используя аналог второй теоремы сравнения, приходим к выводу, что и исходный интеграл тоже сходится.

Упражнение. Доказать, что данный интеграл сходится абсолютно. Кроме того, ранее было установлено, что

sin xdx			a 0 сходится
		,
	x
a

Следовательно, интеграл

sin xdx

0 x

который является одновременно несобственным интегралом и 1-го и 2-го рода – тоже сходится.

Связь между несобственными интегралами 1-го и 2-го рода.

Между интегралами обоих типов существует связь. В самом деле, рассмотрим несобственный интеграл второго рода с несобственностью в точке b .

f x dx

Сделаем замену переменной t

, тогда

x b

b x

t 2

, верхний , получаем

Нижний предел равен

b a

f x dx

f t

t 2

b a

Полученная формула показывает связь между интегралами 1-го и 2-го рода. Аналогичную формулу можно получить и в случае если особая точка лежит внутри промежутка. Здесь несобственный интеграл 2-го рода сводится к сумме двух несобственных интегралов 1-го рода.

f t

b a

f x dx f x dx f x dx

t 2

с a

где c - точка разрыва функции f x

Главные значения несобственных интегралов.

Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке x с

на промежутке a,b . В этом случае,

как известно, несобственный интеграл определяется равенством

c 1

f (x)dx

lim

f (x)dx

lim

f (x)dx

lim

f (x)dx

c 2

где двойной предел должен, разумеется, существовать при независивом предельном

переходе по 1 и	2 . В ряде случаев,		когда указанный			предел не существует, бывает
полезным рассмотреть его при условии, что 1 и 2					сремятся к нулю оставаясь равными, т.е.
	c			b
	lim	f (x)dx			f (x)dx
	0	a		c
		a		c
Если этот предел существует, то его называют главным значением несобственного
b
интеграла f (x)dx и обозначается символом
a
	b		c			b
	V .p. f (x)dx		lim	f (x)dx		f (x)dx
	a		0	a		c
	a			a		c

В этом случае говорят, что интеграл сходится в смысле главного значения (или в смысле главного значения по Коши). Сокращение V.p. происходит от французского «Valeur principal», что в переводе на русский как раз и означает «Главное значение»

Очевидно, что если интеграл существует как несобственный, то он существует и в смысле главного значения. Обратное, вообще говоря неверно.

2 dx

Пример. Рассмотрим интеграл

1 x

Этот интеграл как несобственный несуществует (особой точкой является x 0 ) . Однако этот интеграл существует в смысле главного значения

V .p.

dx
	lim
x
	0
		1

2 dx

lim ln ln1 ln 2 ln ln 2

lim

Понятие главного значения определено также для несобственного интеграла первого


рода вида	f (x)dx .		Сходимость такомо					интеграла понимается в виде	существования

двойного предела
					a		A1
f (x)dx		lim				f (x)dx f (x)dx
	A						a
	1			A1			a
	A2
где a - произвольная точка числовой оси
Главное значение					этого		интеграла	определяется как прередел	при A1 и A2
стремящимися к бесконечности оставаясь равными, т.е.
						a	A
V .p. f (x)dx			lim			f (x)dx f (x)dx
			A				a
					A		a

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
24.07.201785.64 Кб18Вопросы для студентов вечернего отделения от кафедры 311.pdf
#
24.07.20171.19 Mб143Лекции по Матанализу ч.3.pdf
#
24.07.20171.89 Mб397Лекции по Матанализу ч1.pdf
#
24.07.20171.2 Mб148Лекции по Матанализу ч2.pdf
#
24.07.2017166.23 Кб106Матанализ Вопросы 1 курс 1 семестр.pdf
#
24.07.2017129.01 Кб42Некоторые задачи для вечернего отделения третьего факультета от каф 311.pdf