5. Схема Горнера. // не нашла в учебнике

Схема Горнера – способ деления многочлена

на бином (x−a). Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома (x−a):

После деления многочлена n-ой степени на бином(x−a), получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна (n−1). Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.

Пример №1

Разделить (5x⁴+5x³+x²−11) на (x−1), используя схему Горнера.

Решение:

Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена (5x⁴+5x³+x²−11), расположенные по убыванию степеней переменной x. Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на (x−1), то во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅5+5=10:

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅10+1=11:

Для пятой ячейки получим: 1⋅11+0=11:

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1⋅11+(−11)=0:

Задача решена, осталось только записать ответ:

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления (5x⁴+5x³+x²−11) на (x−1). Естественно, что так как степень исходного многочлена (5x⁴+5x³+x²−11) равнялась четырём, то степень полученного многочлена (5x³+10x²+11x+11) на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена (5x⁴+5x³+x²−11) на (x−1). В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена (5x⁴+5x³+x²−11) при x=1 равно нулю.

Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена (5x⁴+5x³+x²−11) при x=1 равно нулю, то единица является корнем многочлена (5x⁴+5x³+x²−11).

6. Машина Бэббиджа. // не нашла в учебнике

В 1822 г. Бэббидж опубликовал научную статью с описанием машины, способной рассчитывать и печатать большие математические таблицы. В том же году он построил пробную модель своей Разностной машины, состоящую из шестеренок и валиков, вращаемых вручную при помощи специального рычага. Затем, заручившись поддержкой Королевского общества - самой престижной научной организации Великобритании, - он обратился к правительству с просьбой финансировать создание полномасштабной работающей машины.

На протяжении следующего десятилетия Бэббидж без устали работал над своим изобретением. Первоначально он рассчитывал завершить ее за три года, но Разностная машина становилась все сложнее по мере того, как он ее модифицировал, совершенствовал и конструировал заново. Бэббиджа все время преследовали болезни, нескончаемая работа и финансовые проблемы.

1833 Г. Бэббидж уже был готов отказаться от своих планов, связанных с Разностной машиной. Это и не удивительно, если принять во внимание сложности его жизни. Однако, продолжая размышлять на ту же тему, он пришел к идее создания еще более мощной машины. Аналитическая машина Бэббиджа в отличие от своей предшественницы должна была не просто решать математические задачи одного определенного типа, а выполнять разнообразные вычислительные операции в соответствии с инструкциями, задаваемыми оператором.По замыслу это была «машина самого универсального характера» - в действительности первый универсальный программируемый компьютер.

Аналитическая машина должна была иметь такие компоненты, как «мельница» и «склад» (по современной терминологии - арифметическое устройство и память), состоящие из механических рычажков и шестеренок. Память машины вмещала до 100 сорокаразрядных чисел. Эти числа должны были храниться в памяти, пока до них не дойдет очередь в арифметическом устройстве. Результаты операции либо отправлялись в память, чтобы также ждать своей очереди, либо распечатывались. Инструкции, команды, вводились в Аналитическую машину с помощью перфокарт.

Урожденная Огаста Ада Байрон, единственный законный ребенок поэта лорда Байрона, графиня отдала все свои незаурядные математические и литературные способности осуществлению проекта Бэббиджа. Она прекрасно поняла революционную сущность машины, способной выполнить любую программу, переведенную на язык перфокарт.

Графиня Лавлейс помогла Бэббиджу прояснять его собственные идеи, воодушевляла его, глубоко интересуясь его работой и заражая своим энтузиазмом. Но даже ее литературного дара и обаяния оказалось недостаточно, чтобы решить главную проблему на пути создания Аналитической машины. Если Разностная машина имела сомнительные шансы на успех, то Аналитическая машина и вовсе выглядела нереалистичной. Ее просто невозможно было построить и запустить в работу. В своем окончательном виде машина должна была быть не меньше железнодорожного локомотива. Ее внутренняя конструкция представляла собой беспорядочное нагромождение стальных, медных и деревянных деталей, часовых механизмов, приводимых в действие паровым двигателем. Малейшая нестабильность какой-нибудь крошечной детали приводила бы к стократно усиленным нарушениям в других частях, и тогда вся машина пришла бы в бешенство.

Аналитическая машина так и не была построена. Все, что дошло от нее до наших дней, - это ворох чертежей и рисунков, а также небольшая часть арифметического устройства и печатающее устройство, сконструированное сыном Бэббиджа.

По иронии судьбы Разностной машине повезло больше. Хотя сам Бэббидж больше не возвращался к ней, шведский издатель, изобретатель и переводчик Пер Георг Шойц, прочтя как-то об этом устройстве, построил его слегка видоизмененный вариант, воспользовавшись ценными советами Бэббиджа. Несомненно, это было для Бэббиджа и радостное, и горькое событие, когда он наконец увидел, как его (теперь уже общее) детище успешно прошло испытания - это случилось в 1854 г. в Лондоне. А годом позже Разностная машина Шойца была удостоена золотой медали на Всемирной выставке в Париже.