12

Интерполяция полиномом n- й степени

При большем числе узловых точек интерполяционные формулы будем просто называть n-точечными.

Интерполяционная формула при этом в общем случае для (n+1) дискретных

данных измерений имеет вид:

ϕ(x) = P0 + P1x + P2 x2 +…+ Pi xi +…+ Pn−1xn−1 + Pn xn .

Примеры интерполяции одного и того же набора экспериментальных точек, но

разными способами представлены на рисунке.

Примеры интерполяции результатов измерений различными методами

Интерполяция сплайнами

Полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные результаты при аппроксимации зависимостей. Большая погрешность возникает на

концах (так называемых «крыльях») этих кривых. Не смотря на выполнение условий

Лагранжа в узлах, интерполяционная функция может иметь значительные отклонения от аппроксимируемой зависимости между узлами. При этом повышение степени интерполяционного полинома приводит не к уменьшению, а к увеличению

погрешности.

В области геометрического моделирования сложных аэродинамических

обводов для проведения гладких кривых через узловые значения функции

используют эффект гибкой упругой «линейки» (струны), совмещенной с соседними узлами.

Математическая теория подобной аппроксимации, использующая законы

упругости, развита за последние 30 лет и носит название – теория сплайн-функций

(spline – рейка, линейка, англ.).

13

Основные идеи подобной аппроксимации сформировались в результате попыток математически описать гибкие рейки из упругого материала (механические

сплайны), которыми издавна пользовались чертежники в тех случаях, когда возникала необходимость проведения через заданные точки гладкой кривой.

Известно, что рейка из упругого материала, закрепленная в некоторых точках и находящаяся в положении равновесия, принимает форму, при которой ее энергия является минимальной. Это фундаментальное свойство позволяет эффективно

использовать сплайны при решении практических задач.

Сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции

является алгебраическим многочленом, а на всем заданном пространстве непрерывна вместе с несколькими своими производными.

В настоящее время разработаны различные алгоритмы и обширное

программное обеспечение по применению разнообразных (в своем математическом описании) сплайнов в науке и технике. Особенное значение эта теория имеет в

области проектирования и производства изделий АКТ сложных геометрических форм – обводы летательных аппаратов, нервюры, лопатки, крыльчатки и т.п.

Интерполяция кубическими сплайнами

В отличие от полиномиальной интерполяции, когда вся аппроксимирующая

зависимость описывается одним полиномом, при сплайновой интерполяции на каждом интервале между узлами [xi−1, xi ] строится отдельный полином третьей степени со своими коэффициентами:

Коэффициенты сплайнов определяются из условий сшивания в узловых точках:

1)равенство значений в узлах;

2)непрерывность первой и второй производных от сплайнов в узлах.

Интерполяция сплайном

Кроме перечисленных условий необходимо задать условия на концах (начальный и конечный узел) в виде производной (направление входа и выхода).

Довольно часто используются условия свободных концов сплайнов. В общем случае условия зависят от конкретной задачи.

Построение сплайнов связано с большим объемом вычислений и реализуется

с помощью программных модулей, встроенных в пакеты научного и инженернотехнического программного обеспечения.