10

Интерполяция экспериментальных данных

Одним из простейших задач аппроксимации является задача интерполяции, для которой искомая функция считается близкой, если ее значения в

экспериментальных точках совпадают с дискретными значениями экспериментальных точек. То есть искомая функция проходит через

экспериментальные точки. Точки (xi , yi ) обычно называют узлами

интерполяции.

Задача интерполяции возникает в тех случаях, когда известно, что ошибки эксперимента являются настолько малыми, что их можно не учитывать. Найденная интерполяционная функция позволяет с некоторой достаточной достоверностью

определять значения исследуемой характеристики процесса y в промежуточных точках эксперимента.

Интерполяцию функции от одной независимой переменной можно рассматривать как процесс определения для заданного аргумента x значение

функции y =ϕ(x) по ее нескольким известным значениям.

Если пары значений (x0; y0), (x1; y1)…(xn-1; yn-1) удовлетворяют заданному уравнению, то задача интерполяции заключается в том, чтобы найти приближенное значение y для произвольного x.

Термин «интерполяция» применяют только тогда, когда значение x не

выходит за пределы ряда данных значений xi. Если требуется найти приближенное значение от аргумента x, значение которого выходит за пределы узлов интерполяции, то употребляют термин «экстраполяция».

Основное применение интерполяции – это вычисление значений

исследуемой функции (экспериментальной зависимости) для не узловых (промежуточных) значений аргумента (влияющего фактора), поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения между строками».

то есть интерполяционная функция должна принимать заданные значения y0, y1,…, yn-1 для узловых значений аргумента x0, x1, … , xn-1.

Можно построить бесчисленное множество непрерывных функций, графики которых будут проходить через n заданных узловых точек (x0; y0), (x1; y1),…,(xn-1; yn-1), поэтому существуют разные типы интерполяции: полиномиальная,

тригонометрическая, экспоненциальная и т.д.

Рассмотрим наиболее простую из них – полиномиальную (или

параболическую) интерполяцию, которая осуществляется при помощи полиномов вида:

ϕ(x) = P0 + P1x + P2 x2 +…+ Pi xi +…+ Pn−1xn−1 + Pn xn .

11

Линейная интерполяция

Изложение вопроса начнем с самого простейшего случая, когда заданными

являются только две узловые точки (xk; yk), (xk+1; yk+1). Так как через две точки однозначно можно провести только одну прямую линию, то интерполяция

называется линейной.

Непрерывную гладкую функцию y = f (x) на небольшом участке всегда

можно заменить отрезком прямой

ϕ(x) = P0 + P1x ,

которая проходит через две соседние узловые точки (xk; yk), (xk+1; yk+1). Зная

координаты двух точек, можно определить параметры линейной функции P0 и P1:

Формула линейной интерполяции для приблизительного нахождения

промежуточного значения для произвольного аргумента X, лежащего между узлами

интерполяции имеет вид:

y(x) =ν yk +u yk +1 ,

где весовые коэффициенты рассчитываются по формулам:

Таким образом, для того чтобы найти значение функции в произвольной точке xk ≤ X ≤ xk+1 , надо согласно формуле линейной интерполяции умножить табличные значения yk и yk+1 на коэффициенты v и u. Величины этих весовых коэффициентов однозначно определяются заданным значением аргумента X.

Интерполяционная формула является приближенной, поскольку дугу кривой

y = f (x) заменили хордой – отрезком прямой, и она будет давать результаты тем

= xk +1 − xk .

В самих узловых точках формула дает точные результаты.

Квадратичная интерполяция

Если число узловых точек равно трем, то заданную функцию на малом

участке можно заменить квадратичной параболой:

ϕ(x) = P0 + P1x + P2 x2 ,

поскольку три заданные узловые точки однозначно определяют собой квадратичную

параболу. При нахождении интерполяционной функции в виде полинома второй

степени интерполяция называется квадратичной.

Параметры полинома P0 , P1, P2 определяются из условия, чтобы

аппроксимирующая кривая проходила через узловые точки (хk-1 , уk-1), (хk , уk ), (хk+1 , уk+1). Решение системы из трех уравнений позволяет найти все коэффициенты полинома.