- •Нормальное распределение
- •210100 Электроника и наноэлектроника
- •Теоретические сведения
- •Основные термины и определения
- •Понятия о законах распределения одномерных случайных величин
- •Построение гистограммы распределения случайной величины
- •Параметры нормального распределения
- •Проверка гипотезы о согласовании выборочного эмпирического распределения с гипотетически нормальным распределением
- •Практические упражнения
-
Параметры нормального распределения
Анализируя (11) можно сделать вывод, что нормальное распределение определяется двумя числовыми характеристиками – математическим ожиданием и дисперсией генеральной совокупности. Для нормального распределения математическое ожидание является наиболее вероятным значением случайной переменной x, а генеральная дисперсия характеризует, насколько «далеко» частные наблюдения величины x могут располагаться относительно M{x}. Внутри интервала ±{x} находится 68,3% всей площади фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой {x}, в интервале ±2{x} – 95,75%. Такое же соотношение при достаточно большом количестве опытов наблюдается для элементов выборки, находящихся внутри и за пределами указанных интервалов.
Для ограниченной выборки оценкой M{x} является , а оценкой 2{x} - S2{x}, где S2{x} – выборочная дисперсия, определяемая выражением
1212\* MERGEFORMAT ()
При этом возникает ошибка расчёта значений функции {x}. Поскольку однозначно определить значения M{x} и 2{x} можно лишь при бесконечном числе опытов, то применяют методы интервального оценивания параметров генеральной совокупности, позволяющие определить доверительные интервалы наблюдения математического ожидания и генеральной дисперсии случайной величины.
Определение доверительного интервала наблюдения математического ожидания случайной переменной x осуществляется при помощи статистики Стьюдента или t-критерия. С этой целью задаются необходимым уровнем значимости q и определяют значение квантиля tКР{1-q/2; N-1} распределения Стьюдента для данной вероятности и текущего объёма выборки N. Границы доверительного интервала наблюдения математического ожидания случайной переменной x определяют по выражению
1313\* MERGEFORMAT ()
Для определения доверительного интервала наблюдения генеральной дисперсии пользуются статистикой Пирсона (2-критерием). При этом задаются необходимым уровнем значимости q и определяют значения квантилей 2КР{1-q/2; N-1} и 2КР{q/2; N-1} распределения Пирсона для данной вероятности и текущего объёма выборки N. Границы доверительного интервала наблюдения генеральной дисперсии определяют по выражению
1414\* MERGEFORMAT ()
-
Проверка гипотезы о согласовании выборочного эмпирического распределения с гипотетически нормальным распределением
При сопоставлении значений функций и для случайной величины x, распределённой нормально, при одном и том же значении аргумента, возникают ошибки . Эти ошибкой могут быть обусловлены либо ошибками определения величин M{x} и 2{x}, либо тем, что закон распределения случайной величины отличен от закона Гаусса. Идея сравнения эмпирического распределения с идеальным нормальным распределением , определённым величинами M{x} = и 2{x} = S2{x}, лежит в основе доказательства гипотезы о том, что случайная переменная подчиняется нормальному закону распределения.
Для проверки гипотезы о согласованности эмпирического выборочного распределения с гипотетическим нормальным распределением применяется статистика, которая приближённо распределена по 2-закону Пирсона
1515\* MERGEFORMAT ()
с числом степеней свободы f = K – l – 1, где K – число интервалов ряда распределения, определённое по (9), l – число параметров гипотетического распределения, которые надо определить по данным выборки (для нормального распределения l = 2). Здесь Nk – число элементов выборки, попавшее в k-ый интервал, а pk – вероятность попадания случайной величины x в k-ый интервал при условии, что x распределена нормально.
Для проверки нуль-гипотезы о соответствии выборочного распределения нормальному закону Гаусса вычисляют эмпирическое значение статистики по (15) и сравнивают его с критическим 2КР{q; f }, которое выбирают из таблиц 2-распределения для числа степеней свободы f и выбранного уровня значимости q. Если выполняется условие
1616\* MERGEFORMAT ()
то гипотеза принимается, эмпирическое распределение считается нормальным.
Критерием Пирсона рекомендуется пользоваться при N > 50. При меньших объёмах выборки можно воспользоваться критерием согласия:
1717\* MERGEFORMAT ()
где , – соответственно асимметрия и эксцесс эмпирического распределения, а DA и DE – дисперсии данных величин. Величины , , DA и DE определяются по выражениям
1818\* MERGEFORMAT ()
1919\* MERGEFORMAT ()
2020\* MERGEFORMAT ()
2121\* MERGEFORMAT ()
При выполнении условий (17) гипотеза о соответствии выборочного распределения нормальному закону Гаусса принимается.