8. Линейные неоднородные уравнения и системы с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

(29)

В начале главы было отмечено, что решение этого уравнения будет получено, если удастся найти все решения однородного уравнения и какое-либо (частное) решение уравнения (29). Нахождение фундаментальной системы решений однородного уравнения достаточно подробно обсуждалось в предыдущих параграфах, поэтому мы будем считать её известной. Остаётся лишь найти частное решение уравнения (29). Это может быть сделано методом вариации постоянных для любой функциистоящей в правой части уравнения (29) (единственным ограничением на функциюявляется её непрерывность). Однако, еслиимеет специальный вид, а именно, являетсяквазимногочленом, то существует гораздо более эффективный, чем метод вариации постоянных, способ отыскания частного решения – это метод неопределённых коэффициентов.

Назовём квазимногочленом функцию вида гдеобычный многочлен, апостоянные. При этом мы не исключаем случай, когда числакомплексные. Так какито квазимногочленами оказываются функции видаи т.д. Сделаем одно замечание.

Замечание. Если уравнение (29) имеет вид

(30)

где дифференциальные операторы, то частное решение уравнения (30) может быть представлено в виде

где частное решение уравнения

Доказательство высказанного утверждения очевидным образом следует из того факта, что линейный оператор.

Ввиду замечания нам достаточно научиться отыскивать частные решения уравнений вида

(31)

Число может являться, а может и не являться корнем характеристического уравненияоднородного уравненияЕслине является корнем характеристического уравнения, то будем говорить, чтокорень кратности 0. Таким образом,корень кратностимногочленав том и только том случае, еслигдемногочлен, удовлетворяющий условиюНиже будет доказано, что уравнение (31) обязательно имеет частное решение вида

(32)

где кратностьв характеристическом уравнении, астепень многочленаИспользуя этот факт, можно сравнительно просто найти частное решение уравненияДля этого достаточно равенство (32) продифференцироватьраз и подставить производные в уравнение (31). После подстановки мы получим систему линейных алгебраических уравнений для коэффициентовРешив её, найдём эти коэффициенты.

Теорема. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами в котороммногочлен, апостоянная, имеет частное решение видагдекратностьв характеристическом уравнении, астепень многочлена

Доказательство теоремы мы не будем проводить во всех подробностях, а обрисуем лишь основные его этапы.

Обозначим через комплексное линейное пространство, состоящее из всех линейных комбинаций функцийТаким образом,(здесь угловые скобки означаютлинейную оболочку системы векторов). Очевидно, базис пространстваРассмотрим два подпространства этого пространства:иНа пространстведействует линейный операторпереводя векторв векторТак както действие оператораможно “расщепить” на два действия: сначала операторомпотом операторомМожно проверить, что операторвзаимно однозначно отображает пространствонаа операторвзаимно однозначно отображаетнаТак как функцияпринадлежит подпространствуто она имеет прообразпри отображениит.е.Так кактоимеет прообразпри отображениит.е.Таким образом,Так кактофункция вида (32). Таким образом, уравнениеимеет частное решение вида (32).

Рассуждения данной теоремы можно проиллюстрировать следующим рисунком:

Утверждение, аналогичное только что приведённой теореме, справедливо для систем с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Отличие от уравнений состоит в том, что вместо надо братьТочное утверждение сформулируем в виде теоремы, доказательство которой опустим.

Теорема. Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами гдепостоянная-матрица,искомая вектор-функция, аимеет частное решение видагдекратностьв характеристическом уравнении