Типовые задачи
Найти все решения уравнений:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Решение.
а) Составим характеристическое уравнение:
Его корни:
Следовательно, общее решение уравнения
имеет вид
где
константы.
б)
Характеристическое уравнение:
Его корни:
Следовательно,
в)
Характеристическое уравнение:
т.е.
Корни:
Следовательно,
г)
Здесь ищется функция
Характеристическое уравнение:
корни:
Поэтому
д)
Имеем:
Отсюда
Базисные функции (т.е. функции, образующие
фундаментальную систему решений):
и
Следовательно,
е)
Характеристическое уравнение:
его корни:
Поэтому
ж)
Характеристическое уравнение:
Его корни:
Запишем число, стоящее под знаком корня,
в тригонометрической форме:
По формуле Муавра
где
Таким образом,
Отсюда
получается формула общего решения:
2. Составить дифференциальное уравнение, имеющее следующую фундаментальную систему решений:
а)
б)
в)
Решение.
а) Корни характеристического уравнения
равны:
Следовательно, характеристическое
уравнение имеет вид
или
Значит, дифференциальное уравнение
выглядит так:
б)
Здесь
трёхкратный корень, поэтому
характеристическое уравнение имеет
вид
или
Следовательно, дифференциальное
уравнение имеет вид
в)
Здесь
поэтому характеристическое уравнение
имеет вид
т.е.
Заменяя степени
на производные, получим дифференциальное
уравнение:
Решить уравнение Эйлера
Решение.
Положим
Тогда
Подставив в уравнение, получим:
(здесь
После упрощения будем иметь
Характеристическое уравнение
имеет корни
Следовательно, общее решение имеет вид
Возвращаясь к переменной
получим:
Такой же результат будет получен, если
сделать замену
Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям: а)
б)
Решение.
а) Составим характеристическое уравнение:
Его корни:
Общее решение уравнения:
Подставим в эту формулу
Найдём производную:
Так как
то мы получаем:
Следовательно,
Отсюда
б)
Характеристическое уравнение:
Корни:
Общее решение уравнения:
Так как
то
Значит,
Дифференцируем:
Подставим начальные условия.
Таким образом,
Значит,
.
Решить уравнение методом вариации постоянных:
Решение.
Сначала решим однородное уравнение
Его характеристическое уравнение имеет
вид
его корни:
Функции
и
образуют фундаментальную систему
решений однородного уравнения, а его
общее решение имеет вид
Решение неоднородного уравнения будем
искать в виде
(20)
Продифференцируем
это равенство:
Потребуем, чтобы
(21)
Тогда
Отсюда
Подставим выражения для
в исходное уравнение:
После
упрощения получаем:
Это равенство
вместе с равенством (21) составляют
систему линейных уравнений относительно
Решив
эту систему, получим:
Проинтегрировав эти равенства, получим:
где
постоянные. Следовательно, общее решение
уравнения имеет вид
Это окончательный ответ.
На
примере данного уравнения хорошо видно
строение общего решения неоднородного
уравнения. Действительно, перепишем
последнюю формулу в виде
Тогда мы увидим, что
частное решение неоднородного уравнения,
а
общее решение однородного уравнения.