20. Газовые законы (бойля-мариотта, гей-люсака, авогадро). Уравнение состояния идеального газа.

В люб из равновес сост парам Р, Т и V термодинам сист закономер связ друг с др, так что измен одного из них влечет за собой измен др. Функциональная связь между давл, объемом и температ f (P,V,N) = 0 (1) наз Ур-ем сост вещ-ва. Если решить (1) относит к-л из парам, наприм, Р, то ур-е сост примет вид Р=Р(V, Т) (2) Для жидк и тв тел хар-р зависимости Р = Р(V, Т) крайне индивид. Иначе обстоит дело в случ разреж газов. Все достат-но разреж газы подчин одному и тому же ур-ю сост – ур-ю Клап-Менд, кот может быть установл, как на основе известн опытных газ зак Бойля-Мариотта (РV = const для дан массы газа), Гей-Люсака [V_t = V₀ (1 + t) для постоян массы и давл газа] и Авогадро (при одинак Т и Р в равн объемах люб газа содерж одинак число молек), так и на основе молек-кинетич теории строен вещ-ва. Это ур-е имеет вид PV = MRT/ (3) или P = MRT/V =  RT/, где М – масса газа,  - моляр масса, R – газ постоян, R=8,31 Дж/мольК,  - плотн газа. Отнош Z = М/ - число молей газа. Тогда PV = ZRT (4) В случ газ смеси велич Z в ур-и (4) равна полн числу молей всех газов, входящ в смесь Z = Z₁ + Z₂ +….+ Z_n = М₁/₁ + М₂/₂ + …+ М_n /_n (5) где М₁, М₂, …,М_n – массы отдельн газов, а ₁ , ₂ , … _n – моляр массы этих газов. Реал газы подчин Ур-ю Клап-Менд лишь приближ – при достат низ давл и выс темпер. При больш же Р и низ Т у всех газов наблюд отклон от этого Ур-я. Газ, кот вполне точно подчин ур-ю Клап-Менд, в термодин наз идеал газом. Такого газа в действ-ти нет, он явл некот абстракцией, но св-ва всех реал газов приближ к св-вам идеал газа при мал давл. Люб газ в пределе при Р0 неотличим от идеал. Больш-во газов уже при атм давл и комн Т близки к идеал. Обознач массу 1 молек-лы ч-з m, будем иметь М = mN и  = mN_А, где N – общ число молек газа, а N_А – чис Авогадро. PV = NRT/N_A, но отнош k = R/N_A =1,3810^-23 Дж/К - постоян Больцмана. Тогда PV = NkT (6)

Это ур-е сост справедл для всех газов, т.к. оно соверш не завис от хим прир газа. Р = NkT/V , но N/V = n – число молек в ед объема газа, тогда P = nkT (7) т.е. давл газа завис только от его температ и чис молек в ед объема газа.

21.Барометрическая формула и распред. Больцмана

Если на молек газа не действ никакие внеш силы, то вследств тепл движ они равномер распредел-ся по всему объему сосуда, так что в кажд ед объема содерж в сред одинак число молек. При одинак во всех частях объема темпер в газе устанавл всюду одинак давл Р = nkT = const (в соотв с з-ном Паскаля). Когда газ наход в некот силовом поле, в кот на кажд ч-цу газа действ внеш сила, толкающ ее в определен направл. В рез-те одноврем действ внеш сил и тепл движ молек в газе при задан темпер устанавл некот неравномер распредел молек в пр-ве, не измен во врем. Прим-м внеш сил явл поле силы тяж, а прим газа в таком силовом поле явл зем атм. Молек газов, составл атм возд, под влиян тепл движ рассеялись бы в мир пр-ве, если бы отсутств сила тяж. Т.о., само сущ атм явл рез-ом одноврем действ силы притяж молек к Зем и их тепл движ. Если бы зем атм наход в сост тепл равновес, т.е. темпер атм была бы одинак на всех высотах, то в ней бы установ так наз барометр распредел плотн и давл с высотой. Для определ барометр з-на измен давл и плотн идеал газа с высотой рассмотр вертик столб газа с площ попереч сеч S = 1, находящ при постоян темпер.

Рис.

Обознач давл газа на некот нулев ур Z=0 (ур моря, пов-ти зем) ч-з Р₀, а давл на выс Z над нул ур ч-з Р. При увелич выс на dZ давл газа уменьш на некот велич dР. Это уменьш давл равно весу столба газа выс dZ с площ основ S = 1, dP = - g dZ, (1) где -  - плотн газа. На основ ур-я сост идеал газа, его плотн  равна =P/RT (2) dP = - (P/RT)g dZ, dP/P = - (/RT)g dZ.

р z z

 dP/P = - /R  g dZ/Т ; ln P/P₀ = - /R  g dZ/Т

p₀ 0 0

На небольш выс над пов-ю зем ускор силы тяж g можно счит постоян, не завис от выс Z, и вынести его за знак интегр . Если газ наход в тепл равновес при постоян, не завис от выс Z темпер Т, то и Т можно вынести за знак интегр.

ln P/P₀ = - gZ/RT,

откуда Р/Р₀ = е ^{- gZ/RT}; Р = Р₀ е ^{- gZ/RT}. (4) Ф-ла (4) хар-ет измен давл газа с выс и наз барометр ф-лой. Она показ, что давл газа с выс убыв по экспоненц з-ну.

Рис.

Прибор для определ выс над зем пов-ю наз высотомером. Давл с выс убыв тем быстрее, чем тяж газ.

Р = Р₀ е ^{- mgZ/ kT}.

Так как P = nkT, то эта барометр ф-ла выраж также з-н убыв плотн газа с выс n = n₀ е ^{- mgZ/ kT} (5)

где n и n₀ – чис молек в ед объема газа в точ, разн выс между кот равна Z. Ввиду чрезвыч малой массы газ молек убыв плотн газа и его давл заметно только при значит измен выс.

Т.к. велич mgZ - потенциал эн молек в поле тяготен, то

n = n₀ е ^{– U(Z) /kT} (6) т.е. она выраж з-н распредел молек идеал газа по велич их потенциал эн в поле тяготен. Причем велич n₀ имеет смысл числа ч-ц с потенциал энерг равной нулю (n = n₀ при U = 0).

Поскольку, в произвол силов поле потенц эн ч-цы может завис от всех 3-х коорд, хар-х ее полож в пр-ве, а не только от одной, как это имело место в частн случ поля тягот, т.е. n = n(X,Y,Z) и соотв этому U = U(X,Y,Z). Т.о., в люб силов поле распредел ч-ц в пр-ве выраж з-ном

n(X,Y,Z) = n₀ е ^{– U(X,Y,Z) / kT} - з-н Больцмана (7) где U(X,Y,Z) – потенц эн ч-ц во внеш сил поле, завис от коорд той точки, в кот наход ч-ца; n(X,Y,Z) – конц ч-ц в точ с коорд X,Y,Z; n₀ – чис ч-ц в ед объема в том месте пр-ва, где их потенц эн равна 0. При постоян Т концентр ч-ц убыв с ростом U и возраст с убыв U, т.е. ч-цы концентрир преимущ в местах с меньш потенц эн.