ИДЗ 1.2 Рябушко пример решения

Добавил:

pmaxim2006 fizmathim.ru Решаю задачи по высшей математике. Фотографии решенных заданий по высшей математике https://fizmathim.ru/photo/ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Предмет:

Математика

Файл:

находим обратную матрицу A 1 (она существует, так как A 29 0

.pdf

Скачиваний:

184

Добавлен:

20.02.2017

Размер:

269.65 Кб

Скачать

☆

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

ИДЗ 1.2 – Вариант 0 1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по

формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

1.04x1 x 2 2x 3 3

x 3x11 4x 22x 3 23x

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера – Капели. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

3	4	1
A 4	1	2

1	0	2

данной системы и ранг расширенной матрицы

3	4
		1	1

B 4	1	2	3
	0	2	2
1

Разделим первую строку на 3. Умножим первую строку на -4 и сложим со второй, первую умножим на - 1 и сложим с третьей. Разделим вторую строку на 19/3. Умножим вторую строку на (-4/3) и сложим с третьей строкой

														4 1					1			4 1						1		4	1					1
														4 1					1			4 1						1		4	1					1
							4 1			1		1								1									1


	3	4	1	1		1		3	3		3			3	3				3			3	3					3		3	3					3
B	4	1 2		3	~	4	1 2			3		~ 0	19			2		5		~ 0	1			2			5		~ 0 1		2				5
B	4	1 2		3	~	4	1 2			3		~ 0								~ 0	1								~ 0 1
													3		3				3				19			19						19		19
	1	0	2	2		1	0 2			2			3		3				3				19			19						19		19
	1	0	2	2		1	0 2			2		0	4		5		7			0	4		5		7				0 0		87		153



													3		3		3				3		3		3						57		57

Следовательно, rangA rangB 3 (т.е. числу неизвестных). Значит исходная матрица совместна и имеет единственное решение.

а) по формулам Крамера

Найдем определитель по правилу треугольника:

a11	a12	a13
			a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11
a21	a22	a23	a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11
	a32	a33
a31	a32	a33

Найдем определитель и значения x1 , x 2 , x 3

			4 1
	3		4 1
	4	1		2	3 1 2 ( 4) 2 1 1 4 0 1 1 1 3 2 0 ( 4) 4 2 6 8 0 1 0 32 29
	1	0		2
			1	4		1
			1	4		1
x1			3	1 2				2 16 0 2 0 24 44
		2		0		2
				1		1
			3	1		1
x 2			4	3		2	18 2 8 3 12 8 13
			1	2		2

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

				4	1
		3		4	1
x3		4	1		3	6 12 0 1 0 32 51
		1		0	2
Формулы Крамера
x1	x1					x 2	x 2	x3	x3
x1						x 2		x3

x1	44					x 2	13	x3	51
x1	29					x 2	29	x3	29
	29						29		29

б) с помощью обратной матрицы (матричным методом)

Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX B . Решение системы в матричной форме имеет вид x A 1B По формуле

Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:

A11	1 2	1		2		2 0 2
		0		2
A12	1 3			2		(8 2) 6
A12	1 3		4	2		(8 2) 6
			1	2
A13	1 4			1		0 1 1
A13	1 4		4	1		0 1 1
			1	0
A31	1 4		4		1		8 1 9
A31	1 4		4		1		8 1 9
			1		2
A33	1 6			4			3 16 19
A33	1 6		3	4			3 16 19
			4	1

Таким образом получаем матрицу:

A 21	1 3		4		1		( 8 0) 8

		0			2
A 22	1 4					6 1 5
			3 1
			1	2
A 23	1 5			4			(0 4) 4
		3
		1		0
A32	1 5			1		(6 4) 2
			3
			4	2

2		6	1
	8	5	4
	8	5	4
	9	2	19
	9	2	19
Полученную матрицу транспонируем:
2		6	1 T	2		8 9

	8	5 4			6	5 2
	9	2	19		1	4 19
	9	2	19		1	4 19

Тогда решение системы:
																	44
	x1				2	8	9	1			2 ( 1) 8 ( 3) ( 9) 2					44	29
	x1		1		2	8	9	1			2 ( 1) 8 ( 3) ( 9) 2					44	29
			1							1					1		13
X	x 2				6 5		2	3			6 ( 1) 5 ( 3) ( 2) 2					13
X	x 2		29		6 5		2	3		29	6 ( 1) 5 ( 3) ( 2) 2				29	13	29
	x 3		29			4				29			( 1)	( 4) ( 3) 19 2	29		29
	x 3				1	4	19	2			1		( 1)	( 4) ( 3) 19 2		51	51

																	29
																	29
Итак,		x1		44		x 2	13		x3			51
Итак,		x1			29	x 2	13		x3		29
					29		29				29

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

в) методом Гаусса
3x1 4x 2 x 3 1

4x1 x 2 2x 3 3
	x1 2x 3										2
	x1 2x 3										2
Напишем матрицу системы:
3	4				1
3	4				1			1

4	1				2					3
	0				2				2
1	0				2				2
1
Тогда
																						1																		4	1												4
																																								4	1		1										4
3	4							1 / 3																			4 1						1					1												1
					1																																			3	3				3								3

																											3			3
4 1								3																			3			3	3								19		2			5				19
					2															~ 4 1								2			3			II 4I ~ 0					19		2			5		/		19	~ 0 1
					2															~ 4 1								2			3			II 4I ~ 0												/			~ 0 1
																																							3		3				3		3
1	0				2				2													1			0			2			2				III I				3		3				3		3
1	0				2				2													1			0			2			2				III I			0	4		5		7							0		4



																																							3		3		3									3
				4					1										1



1
1				3					3										3
				3					3										3
~ 0			1						2										5
~ 0			1
									19									19
									87					153
0			0
0			0						57								57


Выпишем систему уравнений:
			4									1												1
x1					x 2											x 3
x1			3		x 2							3				x 3								3
			3									3												3
										2														5
				x 2						2							x							5
																			3
										19									3					19
										19														19
									87				x 3									153
													x 3
									57												57
									57												57
Находим значения x1, x2, x3
x 3		153				57									51
x 3	57					87									29
	57					87									29
x 2		2			51												5						x 2						5			102			145 102						247						13
x 2	19				29										19								x 2					19							145 102						247						29
	19				29										19													19			551							551			551						29
	4						13										1				51					1										1		52	17		29 52 51										132
x1																															x1
x1	3																3				29					3					x1					3		87	29			87										87
	3						29										3				29					3										3		87	29			87										87
Итак, x1					44																	x 2			13								x3				51
Итак, x1					44																	x 2				29							x3			29
									29																	29										29

1	1
1	1

3		3
3		3
2		5			~

19		19		4
5		7	III	4	II
5		7	III	3	II

3		3

44 29

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

2. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

x1 4

2.02x1 x 2 4x 3 53x1 25x 24x 2 3x3x 3

1	5	3
A 2	1	4

3	4	1

данной системы и ранг расширенной матрицы

1
1	5	3	4

B 2	1	4	5
	4	1
3	4	1	2
3			2

Умножим первую строку на (-2) и сложим со второй, умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей. Умножим вторую строку на (-1) и сложим с третьей строкой

1 5				1	5 3			1 5		3
1 5		3	4	1	5 3		4	1 5		3	4

B 2	1	4	5	~ 0	11	10	3	~ 0	11	10	3
3	4	1	2	0	11	10	10	0	0	0	7

Теперь ясно, что rangA=2, rangB=3. Согласно теореме Кронекера – Капели, из того, что rangA rangB , следует несовместность исходной матрицы (не имеет решений).

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

3.Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

3x1 x 2 x3 0

3.02x1 x 2 3x3 0x1 2x 2 5x3 0

Найдем определитель по правилу треугольника:

a	11	a12	a13
						a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11
a	21	a 22	a 23	a11a 22a 33	a12a 23a 31 a 21a 32a13	a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11
		a 32	a 33
a 31		a 32	a 33

		Определитель системы
		1	1
	3	1	1
	2	1	3	3 ( 1) ( 5) 1 3 1 1 2 2 1 ( 1) 1 3 3 2 1 2 ( 5)
	1	2	5
15 3 4 1 18 10 15
Так как 15 поэтому система имеет единственное нулевое решение:					x1 x 2	x3	0

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

4. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

4x1 3x 2 5x 3 0 4.0 3x1 3x 2 4x 3 07x1 6x 2 x 3 0

Найдем определитель по правилу треугольника:

a	11	a12	a13
							a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11
a	21	a 22	a	23	a11a 22a 33	a12a 23a 31 a 21a 32a13	a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11
		a 32	a
a	31	a 32	a	33
	Определитель системы
4	3		5
3	3		4	4 ( 3) ( 1) ( 3) 4 7 ( 5) 3 ( 6) 5 ( 3) 7 4 4 ( 6) ( 3) 3 ( 1) Так как
7	6		1

12 84 90 105 96 9 0

0 то система имеет бесчисленное множество решений. Поскольку rangA=2, n=3, возьмем любые два уравнения системы (например, первое и второе) и найдем ее решение

Имеем:

4x1 3x 2 5x3 03x1 3x 2 4x3 0

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных x1 и x2 не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем x1 и x2 и переместим члены с x3 в правые части уравнений:

4x1 3x 2 5x33x1 3x 2 4x3

Решаем последнюю систему по формулам Крамера

	x	1		(21)		, x		2	(22)
		1			2			2	2
					2				2
где	2				4	3		12 9 3
					3	3
(1)	5x		3		3		15x				3 12x3 27	x3
(1)	5x		3		3
2	4x3				3
(2)			5x3			16x3					15x3 31x3
(2)	4		5x3
2	3			4x3
	3			4x3
Отсюда находим, что x										1	27 x 3 ,	x	2	31x 3
										1	3		2	3
											3			3

Полагая x3 3k , где k – произвольный коэффициент пропорциональности, получаем решение исходной системы:

x1 27k; x 2 31k; x3 3k

Соседние файлы в предмете Математика

#
09.11.20238.79 Mб10675750 решенных задач по теории вероятностей.pdf
#
09.11.20231.36 Mб13IDZ Ryabushko.pdf
#
20.02.2017222.6 Кб325ИДЗ 1.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017269.65 Кб184ИДЗ 1.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017240.76 Кб272ИДЗ 10.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017266.77 Кб231ИДЗ 10.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017246.2 Кб214ИДЗ 11.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017259.31 Кб151ИДЗ 11.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017253.32 Кб352ИДЗ 11.3 Рябушко пример решения.pdf

1 5				1	5 3			1 5		3
1 5		3	4	1	5 3		4	1 5		3	4

B 2	1	4	5	~ 0	11	10	3	~ 0	11	10	3
3	4	1	2	0	11	10	10	0	0	0	7

1 5				1	5 3			1 5		3
1 5		3	4	1	5 3		4	1 5		3	4

B 2	1	4	5	~ 0	11	10	3	~ 0	11	10	3
3	4	1	2	0	11	10	10	0	0	0	7

1 5				1	5 3			1 5		3
1 5		3	4	1	5 3		4	1 5		3	4

B 2	1	4	5	~ 0	11	10	3	~ 0	11	10	3
3	4	1	2	0	11	10	10	0	0	0	7