18. Существование функции, невычислимой по Тьюрингу

Построение функции, невычислимой по Тьюрингу.

Определим новую n-местную функцию  следующим образом:

(i,x₂,…,x_n)_i(i,x₂,…,x_n)1, если _i(i,x₂,…,x_n) определено,

(i,x₂,…,x_n)0, если _i(i,x₂,…,x_n) не определено.

Теорема 1. Функция  невычислимая.

Доказательство. Так как последовательность T₀, T₁, T₂, … содержит все машины Тьюринга (необходимых для определения функций, вычислимых по Тьюрингу), то последовательность ₀, ₁, ₂, … содержит все n-местные вычислимые по Тьюрингу функции. Функция  по своему определению отличается от каждой функции _i хотя бы в точке (i,x₂,…,x_n). Значит, функция  не относится к функциям, вычислимым по Тьюрингу. В силу тезиса Тьюринга, невычислимая по Тьюрингу функция  является невычислимой функцией. Теорема 1 доказана.

19. Разрешимые отношения: определение и примеры

Характеристической функцией множества AN называется функция _A:NN, такая, что _A(x)1 для xA и _A(x)0 для xA.

Аналогично определяются характеристические функции _R отношения R(x)Nⁿ и _P предиката P(x), где x(x₁,…,x_n)Nⁿ – числовой вектор.

Множество AN называется разрешимым, если его характеристическая функция _A является вычислимой. Иначе говоря, множество AN разрешимо, если существует алгоритм, который для всех xN на вопрос «Верно ли, что xA?» за конечное число шагов выдает ответ «Да», если xA, или ответ «Нет», если xA.

Используя интуитивное определение вычислимой функции (алгоритма), можно доказать следующие свойства разрешимых множеств.

1) Пустое множество  и само множество N – разрешимые множества, поскольку _0 и _N1 (постоянные функции) – вычислимые функции.

2) Конечное множество A разрешимо: характеристическая функция _A равна 0 за исключением конечного числа точек, поэтому вычислима.

20. Свойства дополнения, объединения и пересечения разрешимых функций

Объединение AB двух разрешимых множеств A и B – разрешимое множество. Действительно, если функции _A и _B вычислимые, то функция _AB(x)_A(x)_B(x)_A(x)_B(x) тоже вычислима.

Пересечение AB двух разрешимых множеств A и B – разрешимое множество. Действительно, если функции _A и _B вычислимые, то функция _AB(x)_A(x)_B(x) тоже вычислима.

Дополнение A разрешимого множества A (до множества N) – разрешимое множество. Действительно, если функция _A вычислима, то функция _A(x)1_A(x) тоже вычислима.

21. Неразрешимость проблемы остановки

Определим функцию p(x,y) следующим образом:

p(x,y)1, если машина T_x с начальной конфигурацией q₁y останавливается,

p(x,y)0, если машина T_x с начальной конфигурацией q₁y не останавливается.

Проблема остановки. Существует ли машина Тьюринга, которая вычисляет функцию p(x,y)?

Определим функцию t(x) следующим образом:

t(x)1, если машина T_x с начальной конфигурацией q₁x останавливается,

t(x)0, если машина T_x с начальной конфигурацией q₁x не останавливается.

Проблема самоприменимости. Существует ли (т.н. самоприменимая) машина Тьюринга, которая вычисляет функцию t(x)?

Лемма. Проблема самоприменимости неразрешима.

Доказательство. Допустим, что машина T с внутренними состояниями q₀, q₁, …, q_s является самоприменимой, т.е. вычисляет функцию t(x). Она останавливается на конфигурации q₀11, если машина T_x останавливается при входе x и останавливается на конфигурации q₀1, если машина T_x не останавливается при входе x.

Построим новую машину Тьюринга T, которая совпадает с T, кроме следующих исключений: добавляются новые внутренние состояния q_s1 и q_s2, в командах символ q₀ заменяется на q_s1, и добавляются еще три команды: 1q_s11rq_s2, 1q_s21nq_s2,0q_s20nq₀.

Машина T, как все машины Тьюринга, имеет некоторый номер i, т.е. TT_i.

Если машина T_i останавливается при входе i, то:

1) машина T останавливается на конфигурации q₀11,

2) машина T, выполняя ту же самую работу, останавливается на конфигурации q_s111, затем выполняется команда 1q_s11rq_s2, и получается конфигурация 1q_s11,

3) далее бесконечно выполняется команда 1q_s21nq_s2,

т.е. машина T_iT не останавливается.

Если машина T_i не останавливается при входе i, то:

1) машина T останавливается на конфигурации q₀1,

2) машина T, выполняя ту же самую работу, останавливается на конфигурации q_s11, затем выполняется команда 1q_s11rq_s2, и получается конфигурация 1q_s1,

3) далее выполняется команда 0q_s20nq₀,

т.е. машина T_iT останавливается (на конфигурации 1q₀).

Полученное противоречие показывает, что машины T, вычисляющей функцию t(x), не существует. Лемма доказана.

Теорема 2. Проблема остановки неразрешима.

Доказательство. Если бы была вычислима функция p(x,y), то была бы вычислима и функция t(x)p(x,x). Теорема 2 доказана.