Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лек ТА 4ПИ заочн.doc
Скачиваний:
112
Добавлен:
27.01.2017
Размер:
523.26 Кб
Скачать

16

Вопросы для подготовки к экзамену

  1. Интуитивное определение алгоритма и вычислимой функции

Алгоритм T над множеством A – это точное предписание, определяющее для любого xA вычислительный процесс – последовательность действий, происходящих по отдельным шагам, так, что каждый последующий шаг однозначно зависит от результатов предшествующих, этот вычислительный процесс либо никогда не завершается, либо завершается в конечное число шагов с получением результата или без результата.

Чтобы убедиться, что данная инструкция является алгоритмом, мы должны проверить выполнение следующих основных общих черт алгоритмов:

1) (массовость) вычислительный процесс, определяемый алгоритмом, может начинаться с любого элемента некоторого потенциально бесконечного множества;

2) (дискретность) вычислительный процесс, определяемый алгоритмом, происходит в дискретном времени, по отдельным моментам времени;

3) (детерминированность) в любой момент времени вычисляется величина, однозначно зависимая от величин, полученных в предшествующие моменты времени;

4) (направленность) вычислительный процесс, определяемый алгоритмом, имеет целью найти некоторый заключительный результат;

5) (элементарность) закон вычисления последующей величины из предшествующих величин должен быть простым и понятным любому вычислителю.

Пусть A, B – два потенциально бесконечных множества. Функция f:AB называется эффективно вычислимой, если существует алгоритм, определяющий для любого xA вычислительный процесс, который

  • заканчивается с результатом f(x)B, если значение f(x) определено, и

  • не заканчивается или заканчивается без результата, если f(x) не определено.

В теории алгоритмов множество натуральных чисел N рассматривается как множество целых неотрицательных чисел: N{0,1,2,…,n,…}.

Функция f(x1,…,xn)y называется числовой, если x1,…,xn,yN. Эффективно вычислимая числовая функция просто называется вычислимой.

  1. Частично и примитивно рекурсивные функции

Операции над числовыми функциями называются операторами.

Числовая функция называется частично рекурсивной, если получается из функций o, s, применением конечного числа операторов S, R и M. Используя интуитивное определение алгоритма, можно доказать следующее утверждение:

Теорема 1. Любая частично рекурсивная функция является вычислимой.

Утверждение, обратное к теореме 1, не является ни теоремой, ни аксиомой, а является законом, наблюдаемым на практике:

Тезис Чёрча. Любая вычислимая функция является частично рекурсивной.

Существует не всюду определенные частично рекурсивные функции. Например, функция h(x)y[s(y)x] является частично рекурсивной, но не является всюду определенной: эта функция h(x)x1 не определена при x0.

Числовая функция называется примитивно рекурсивной, если получается из функций o, s, применением конечного числа операторов S и R. Используя интуитивное определение алгоритма, можно доказать следующее утверждение:

  1. Вычислимость рекурсивных функций. Тезис Черча

  1. Определение оператора подстановки, примеры применения

Говорят, что функция h получена из функций f и m функций g1, …, gm при помощи оператора суперпозиции Sm1 и пишут hSm1(f,g1,…,gm), если h(x1,...,xn)f(g1(x1,...,xn),…,gm(x1,...,xn)) для всех x1,...,xnN (m1, n0).

Когда определено значение функции h(x1,...,xn)?

h(x1,...,xn) определено и равно z, если

g1(x1,...,xn) определено и равно y1,

………………………………………,

gm(x1,...,xn) определено и равно ym,

f(y1,…,ym) определено и равно z;

иначе h(x1,...,xn) не определено.

Если m1, то hS2(f,g) является обычной композицией функций g и f.

При помощи оператора подстановки доказывается, что постоянные функции примитивно рекурсивны. Доказательство приведем, без потери общности, на примере функции f(x,y)3: f(x,y)ssoI12(x,y).

Еще одно применение оператора подстановки: если функция получена из ПРФ перестановкой, повторением или удалением аргументов, то тоже будет ПРФ. Доказательство приведем, без потери общности, на примере функции g(x,y,z)f(y,x,z), где f(x,y,z) есть ПРФ: gS4(f,I23,I33,I13).