17. Нумерация машин Тьюринга и вычислимых функций

Рассмотрим все машины Тьюринга, у которых: 0, 1 – внешние символы, l, r, n – символы, обозначающие движение, q₀, q₁, q₂, … – символы, обозначающие внутренние состояния. Каждая машина Тьюринга однозначно определяется программой, состоящей из 2s команд – пятерок вида a_iq_ja_kmq_l, где a_i{0,1}, q_j{q₁,…,q_s}, m{l,r,n}, a_k{0,1}, q_l{q₀,q₁,…,q_s}.

Некоторые из троек a_kmq_l могут быть заменены тройкой . В командах двойки a_iq_j и тройки a_kmq_l, отличные от тройки , не должны повторяться.

Программа машины Тьюринга записывается в виде таблицы:

	q1	q2	…	qs
1	a11m11q11	a12m12q12		a1sm1sq1s
0	a21m21q21	a22m22q22		a2sm2sq2s

Программу машины Тьюринга представим в виде следующей последовательности:

1q₁a₁₁m₁₁q₁₁0q₁a₂₁m₂₁q₂₁1q₂a₁₂m₁₂q₁₂0q₂a₂₂m₂₂q₂₂…1q_sa_1sm_1sq_1s0q_sa_2sm_2sq_2s.

Каждому символу из множества A{0,1,l,r,n,,q₀,q₁,q₂,…} присвоим номер:

Символ	q0	q1	…	qs	…	0	1	l	r	n	
Номер	90	91		9s8		980	981	982	983	984	985

Выражение s₈ – это число s, написанное в 8-ичной записи. Каждому слову в алфавите A присваивается номер по следующему правилу: если символы b₁, b₂, …, b_t имеют номера u₁, u₂, …, u_t, то слову b₁b₂…b_t присваивается номер u₁u₂…u_t.

Пример. Найти номер машины Тьюринга, вычисляющей функцию f(x)1.

	q1	q2
1	0rq1
0	1rq2	1rq0

Решение. Записываем программу машины Тьюринга в виде слова в алфавите A: 1q₁0rq₁0q₁1rq₂1q₂0q₂1rq₀. Каждый символ этого слова заменим соответствующим числом – номером: 981919809839198091981983909819298598598598092981.

Таким образом, каждой машине Тьюринга можно однозначно присвоить некоторый номер i, и машину с этим номером мы обозначим T_i. Нумерацией множества M называется отображение f множества M в N. Если f является также отображением M на все множество N, то f называется нумерацией без пробелов. Отметим, что если M – множество машин Тьюринга, f:MN – нумерация, TM, f(T)i, iN, то T обозначается через T_i.

Построенная нами нумерация машин Тьюринга является нумерацией с пробелами (но является взаимно однозначным отображением). Чтобы получить нумерацию без пробелов, для числа i, не ставшего номером никакой машины, будем считать, что T_i вычисляет нигде не определенную функцию.

Напомним, что через x обозначается слово, состоящее из x1 единиц.

Определим n-местную функцию _i ,n0, следующим образом:

_i(x₁,…,x_n)y, если машина T_i при работе с начальной конфигурацией q₁x₁0…0x_n останавливается с заключительной конфигурацией q₀y,

_i(x₁,…,x_n) не определено, если машина T_i при работе с начальной конфигурацией q₁x₁0…0x не останавливается или останавливается не в заключительном состоянии i.