13. Машины с неограниченными регистрами

МНР – это лента, бесконечная в одну сторону и разбитая на ячейки, которые называются регистрами и обозначаются R₁,R₂,… Каждый регистр содержит некоторое неотрицательное целое число. Содержимое регистра R_n обозначается r_n, причем, только в конечном числе регистров r_n0.

Программа МНР – это конечный список команд I₁,I₂,…,I_s 4-х видов:

команда обнуления Z(n) (по этой команде r_n:0),

команда прибавления единицы S(n) (по этой команде r_n:r_n1),

команда переадресации T(m,n) (по этой команде r_n:r_m),

команда условного перехода J(m,n,q).

Работа МНР начинается с выполнения команды I₁. Допустим, что МНР выполняет команду I_k, k1,2,…,s. Если I_k одна из трех т.н. арифметических команд Z(n), S(n) или T(m,n), то МНР меняет соответствующим образом содержимое регистра R_n и переходит к следующей команде I_k1. Если же I_kJ(m,n,q), то МНР при r_nr_m переходит к команде I_q и при r_nr_m переходит к следующей команде I_k1. МНР останавливается тогда, когда нет команды для выполнения.

Конфигурацией МНР называется слово, составленное из символов на регистрах ленты, включая все ненулевые символы.

Функция f(x₁,…,x_n) называется вычислимой МНР, если существует МНР, которая, начиная работу с конфигурацией x₁…x_n000…, останавливается с конфигурацией y…, если f(x₁,…,x_n) определено и равно y, и не останавливается, если f(x₁,…,x_n) не определенно.

Пример 1. Программа МНР для вычисления функции сигнума sg(x):

команды		конфигурации
		0000	(x1)000
I1	J(1,2,4)	0000	(x1)000
I2	Z(1)		0000
I3	S(1)		1000

Пример 2. Программа МНР для вычисления сложения xy:

команды		конфигурации
		x000	xy00
I1	J(2,3,5)	x000	xy00	(x1)y10	…	(xy1)y10	(xy)yy0
I2	S(1)		(x1)y00	(x2)y10	…	(xy)y(y1)0
I3	S(3)		(x1)y10	(x2)y20	…	(xy)yy0
I4	J(1,1,1)		(x1)y10	(x2)y20	…	(xy)yy0

14. Нормальные алгоритмы Маркова

Нормальный алгоритм Маркова (НАМ) над конечным алфавитом V состоит из подстановок (команд) двух видов: ab и ab. (a,bV). Оба вида подстановок объединяются в следующем обозначении: ab(.).

Программа НАМ представляет собой конечный список подстановок:

a₁b₁ (.);

a₂b₂ (.);

…………

a_nb_n (.).

На вход подается слово u в алфавите V, которое преобразуется подстановками программы. Допустим, что слово u преобразовано (пока) в слово u в алфавите V. Если в u не содержит ни одного из вхождений a₁, …, a_n, то программа останавливается с результатом в u. Предположим, что a_ib_i (.) первая из подстановок программы, для которой a_i входит в u (i1,…,n). Тогда первое вхождение a_i в u заменяется на b_i. Если эта постановка с точкой, то программа останавливается с полученным результатом. Иначе этот процесс продолжается.

Некоторые из a_i и b_i могут быть пустыми.

Представим натуральное число как слово, состоящее из единиц: . Числовая -местная функция называется вычислимой по Маркову, если существует НАМ, который слово преобразует в слово , если функция определена и равна , и останавливается без результата, если функция не определена.

Пример 1. НАМ для вычисления функции сигнума sg(x):

1	b1b
2	a1b
3	1a
4	a1.
5	b11.

Пример 2. НАМ для вычисления сложения xy:

1	a*a
2	a11a
3	a.
4	1a