11.3 Фільтраційний потік рідини з вільною поверхнею

Такий рух має місце у випадках окремого різновиду гравітаційного режиму (рис. 11.4), експлуатації підгазового покладу нафти, кар’єрної розробки нафтового покладу.

Рівень рідини Н_к стосовно такого потоку називають верхнім б’єфом, а Н_с – нижнім. Якщо рідина нерухома (Н_к = Н_с), то поверхня рідини є горизонтальною (лінія ). Під час руху поверхню рідини називають депресійною поверхнею (крива АВС). Тиск газу над рідиною є постійним, тому поверхню рідини називають вільною поверхнею рідини. Рух рідини відбувається за рахунок власної ваги рідини. Тому такий рух називають рухом рідини з вільною поверхнею, безнапірним або самоплинним рухом.

Вільна поверхня виходить завжди вище нижнього б’єфу. Величина BC називається проміжком височування. На цьому проміжку рідина височується в атмосферу і стікає вздовж BC у нижній б’єф.

У більшості для розв’язування таких задач використовують наближену теорію самоплинної фільтрації, яку ще називають гідравлічною теорією Дюпюї-Форхгеймера. Суть наближення полягає в осередненні потоку за висотою, тобто припускають, що тиск уздовж вертикалі розподілений за гідростатичним законом, горизонтальні швидкості однакові й розподілені рівномірно по висоті, а вертикальні компоненти швидкості дорівнюють нулю.

Тоді швидкість фільтрації у випадку руху рідини через греблю (див. 11.4, а)

, (11.20)

де ρ – густина рідини; g – прискорення вільного падіння; z – вертикальна координата.

Витрата рідини, що припадає на одиницю ширини потоку,

, (11.21)

звідки інтегруючи, маємо рівняння депресійної поверхні:

(11.22)

Оскільки z = H_c для x = L, то дебіт галереї

. (11.23)

Підставляючи формулу (11.23) у формулу (11.22), записуємо рівняння депресійної поверхні ще й у такому вигляді:

. (11.24)

Отже, поверхня депресії напору згідно з гідравлічною теорією є параболічною, що неправильно. Так, із рівняння (11.24) за Н_с = 0 і x = L маємо z = 0, а із рівняння (11.21) – нескінченну швидкість фільтрації , що фізично неможливо. У дійсності має бути z_x = L > H_c , тобто повинен існувати проміжок височування. Така невідповідність пояснюється впливом капілярного тиску, який має місце в шарі, що перекриває рідину (показано крапками на рисунку), тобто в т. зв. шарі (зоні) капілярних контактів (товщина цього шару залежить від порометричної характеристики колектора і від фізичних властивостей рідини і газу). Разом з тим, формули дебіту в разі фільтрації через греблю і до свердловини є точними, як показав І.А. Чарний. Тому їх ще називають формулами Дюпюї-Чарного.

Задача 11.2. Через вертикальну греблю шириною 20 м відбувається фільтрація води з верхнього б’єфа, висота якого 18 м, в нижній б’єф висотою 5 м. Коефіцієнт проникності матеріалу греблі 0,007 мкм²; динамічний коефіцієнт в’язкості води 1 мПас; густина води 1000 кг/м³. Визначити витрату води (в м³/доб), що припадає на 1 м довжини греблі.

Розв’язування. Визначаємо витрату води за формулою для дебіту галереї, що припадає на 1 м довжини греблі, в м²/с:

м³/с

або

Q = q·86400 = 5,133·10^-7·86400 = 0,0443 м²/доб.

Відповідь: 0,0443 м²/доб.

У випадку фільтрації до свердловини (колодязя) аналогічно записуємо:

;

; (11.25)

;

; (11.26)

. (11.27)

Індикаторна лінія в координатах Q і (H_к – H_c) чи Q і (p_к – p_c), оскільки p = Hρg, є кривою, тому індикаторну лінію будують у координатах Q і чи.Тоді вже одержують пряму лінію, а оброблення прямої індикаторної лінію здійснюють аналогічно, як і стосовно до напірного потоку.

Не важко переконатися, що диференціальне рівняння гідравлічної теорії неусталеного безнапірного потоку рідини, яке ще називають рівнянням Буссінеска, набуває вигляду:

.(11.28)

Аналіз формул показує, що між безнапірним потоком рідини і фільтрацією газу існує аналогія: тиску газу p відповідає глибина або напір H безнапірного потоку. Ця аналогія дає змогу розв’язки для газу поширити на безнапірний потік.