контрольная 1 вариант 5

Контрольная работа №1 по механики

105. Частица движется в плоскости х = 6t и у = 4/t. Найти зависимость скорости и ускорения от времени величину скорости и ускорения в момент времени t = 2 с.

Решение

Т.к. Vx=dx/dtиVy=dy/dt, тоVx= 6 (м/с),Vy= -4/t²(м/с).

V(t) = √(Vx²+Vy² ) = √( 36 + 16/t² ) (м/с).

a_x=dVx/dt= 0 (м/с²) ,a_y=dVy/dt= 8/t³(м/с²).

a(t) = √( a_x² + a_y² ) = 8/t³(м/с²).

Найдем скорость и ускорение в момент времени t= 2c

V(2) = √( 36 + 16/4) = √40 = 2√10 (м/с)

a(2) = 8/8 = 1 (м/с²)

115. Компоненты ускорения тела а_х = 6t, м/с², а_у = 4t³ м/с². Найти зависимости координат и скоростей от времени.

Решение

Т.к a_x=dVx/dt, тоdVx/dt= 6t

dVx = 6t dt

Vx = ∫6t dt = 6t²/ 2 = 3t² .

Т.к a_y = dVy/dt, то dVy/dt = 4t³

dVy = 4t³dt

Vy = ∫ 4t³dt = 4t⁴ / 4 = t⁴

Т.к Vx = dx/dt, то dx/dt = 3t²

dx = 3t²dt

x = ∫ 3t²dt = 3t³ / 3 = t³

Т.к Vy = dy/dt, то dy/dt = t⁴

dy = t⁴ dt

y = ∫ t⁴ dt = t⁵ / 5

125. Частица массой m при t = 0 начинает двигаться под действием силы F= F ₀cost, где F₀ и  - постоянные. Найти уравнение для скорости, максимальную скорость, время движения до первой остановки.

Решение

Уравнение движения имеет вид ma=F(t) = F₀cost

a= F₀cost /m

Т.к. а = dV/dt, тоdV=adt=F₀costdt/m.

V=F₀∫costdt/m=F₀sint/m.

Т.к. -1≤sint≤1, тоVmax=F₀/m.

Во время остановки V = 0, следовательно

F₀sint/m= 0

sint= 0

t= ∏

t= ∏ /.

135. Снаряд при скорости 600 м/с разрывается на два осколка в верхней точке траектории. Один осколок массой 40% от массы, всего снаряда летит в противоположном направлении со скоростью 200 м/с. Найти скорость другого осколка.

Решение

Пусть m,V– масса и скорость снаряда,m1,V1 - масса и скорость первого осколка,m2,V2 - масса и скорость второго осколка.

По закону сохранения импульса

mV=m2V2 –m1V1.

Т.к m1 = 0,4m, тоm2 =m– 0,4m= 0,6m.

Подставим данные в уравнение

600m = 0,6mV2 – 200*0,4m.

V2 = (600+80)/0,6 = 1133 м/с.

145. Потенциальная энергия частицы u(x.y.z) = 4 (х² + у² +z²) Дж. Найти . модуль силы, действующий на частицу в точке с координатами (1,1,1), работу сил поля при перемещении в точку (2,2,2).

Решение

Потенциальная энергия частицы в точке с координатами (1,1,1) равна

u(1.1.1) = 4(1+1+1) = 12 Дж

Т.к. u= ∫Fdr, то

F = u/r = 12/√(1+1+1) = 12/√3 = 4√3.

Т.к. A = u1 – u2, то

A = u(1.1.1) – u(2.2.2) = 12 – 4(4+4+4) = 12 – 48 = -36

155. Момент импульса L = (9i+4tj) кг-м²/с действует под углом 45° к моменту силы. Найти модуль момента силы, действующей на тело.

Решение

Т.к. M = dL/dt, то

Mi = dLi/dt = 9 / dt = 0

Mj = dLj/dt = 4t / dt = 4

M = √(Mi²+ Mj²) =√(0+16) = 4

165. Найти момент инерции конуса массой m и радиусом оснований R относительно оси симметрии конуса.

Решение

Возьмем элементарный объем dVв виде диска толщиной dz и радиуса r:

dV = ∏r²dz

Момент инерции диска

dI = r²dm/2 = r²dVp/2 = ∏r⁴pdz/2, где p – плотность конуса.

Z изменяется от 0 до H.

Объем конуса равен

V = ∏R²H/3.

Выразим H

H = 3V/∏R² = 3m/∏R²p

I = ∏r⁴pdz/2 = ∏p/2r⁴dz

Из подобия треугольников

r/R= (H-z)/H

r = (H-z)R/H

r⁴ = (H-z) ⁴R⁴/H⁴ = (H²– 2Hz +z²)²R⁴/H⁴ = (H⁴ + 6H²z²+ z⁴– 4H³z – 4Hz³)R⁴/H⁴

I = ∏p/2(H⁴ + 6H²z² + z⁴ – 4H³z – 4Hz³)R⁴/H⁴dz = ∏p/2(R⁴dz + 6z²R⁴/H²dz +

+ z⁴R⁴/H⁴dz – 4zR⁴/Hdz – 4z³R⁴/H³dz ) = ∏p/2(R⁴H + 6HR⁴/3 + HR⁴/5 – 4HR⁴/2 –

– 4HR⁴/4) = ∏p/2(R⁴ (H + 2H +H/5 – 2H – H)) = ∏p/2(R⁴(H/5)) = ∏p/2(R⁴ (3m/5∏R²p)) =3mR²/10

175. По краю карусели в виде диска массой 500 кг идет человек массой 80 кг. На какой угол повернется платформа, если человек, идя по краю платформы, вернется в исходную точку?

Решение

Пусть Iк, m_к, Mк– момент инерции, масса и момент силы карусели, Iч, m_ч, Mч – момент инерции, масса и момент силы человека, R– радиус карусели.

Тогда Mк = Mч, следовательно Iк d_к/ dt= Iч d_ч/ dt.

Iк =Iд =m_кR² / 2,Iч =m_чR² .

Значит (m_кR²d_к )/ 2 =m_чR² d_ч ,

(m_кd_к)/ 2 =m_чd_ч

250 d_к = 80d_ч

_к = 0,32_ч

d_к/dt = 0,32 d_ч/dt

_к =0,32_ч

Т.к. человек вернулся в исходную точку, то _ч = 2∏. Следовательно

_к =0,64∏.