В операторной форме уравнение (5) имеет вид

( p² + T₁  p+1)  x_вых(p) = k  х_вх (p) (2.8)

Если левую часть уравнения (8) разложить на множители, то получим

(Т₃  p + 1)  (T₄  p + 1)  x_вых(р) = k₁  х_вх(р) (2.9)

Передаточную функцию апериодического звена 2-го порядка можно представить в виде:

• из уравнения (2.8) получим

(2.10)

-из уравнения (2.9) имеем

(2.11)

Из (2.11) следует, что апериодическое звено 2-го порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям 1-го порядка, соединенным последовательно, с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т₃ и Т₄.

В качестве примеров АПЗ-2 можно привести: двигатель постоянного тока при учете электромеханической (Т₁) и электромагнитной (Т₂) постоянных времени, электромашинный усилитель и т.п.

г) Колебательное звено

Это звено описывается тем же дифференциальным уравнением (2.5), что и АПЗ 2-го порядка. Однако корни характеристического уравнения (2.6) должны быть комплексными, что имеет место при условии Т₁< 2  Т₂.

В операторной форме дифференциальное уравнение (2.5) для колебательного звена обычно представляется в виде

(T² p²+ 2    T  p+1) X_вых(p)= k  X_вх(p) (2.12)

или

где q = 1/Т – угловая частота свободных колебаний (при отсутствии затухания),

 - параметр затухания, причем 0 <  < 1

для АПЗ2  > 1.

Передаточная функция колебательного звена

(2.13)

В качестве примеров колебательных звеньев можно указать:

Колебательные RLC – цепи, управляемые двигатели постоянного тока при выполнении условия 4Т_э > Т_м , упругие механические передачи (для передачи вращательного движения, например) с упругостью С, моментом инерции J и коэффициентом скоростного трения S, гироскопические элементы и др.

Примечание: уравнение (13) может быть получено из уравнения (6) путем замены Т₂ на Т и Т₁ на 2Т откуда может быть найдено значение  т.е Т₁=2Т₂; =;

д). Консервативное звено

Консервативное звено является частным случаем колебательного звена при =0. Тогда передаточная функция (2.13) будет иметь вид

(2.14)

Консервативное звено представляет собой идеализированный случай, когда можно пренебречь влиянием рассеяния энергии в звене. Например, если последовательном RLC – контуре положить R=0, получим консервативное звено.

2.2. Переходная функция и функция веса

В теории управления в качестве входных сигналов рассматривают единичное ступенчатое воздействие, единичное импульсное воздействие или гармонические сигналы.

Единичное ступенчатое воздействие – скачкообразное воздействие, величина скачка равна 1.

Единичная импульсная функция представляет собой производную от единичного ступенчатого воздействия δ(t)=1^’(t)

Единичная импульсная функция равна бесконечности при t=0 и равно нулю во всех остальных случаях.

Основное свойство дельта функции заключается в том, что

Т.е. она имеет единичную площадь.

Переходной функцией h(t) называется реакция системы на единичное ступенчатое воздействие.

Весовой функцией ώ(t) называется реакция системы на дельта функцию.

Между переходной и весовой функцией существуют следующие зависимости:

Табл. 1. Временные характеристики позиционных звеньев