Абсолютно точное значение измеряемой величины называют истинным значением, которое самым идеальным образом отображает как в количественном, так и в качественном отношениях соответствующее свойство объекта.

То есть в результате измерения мы никогда не сможем определить истинное значение величины, а получаем лишь его приближенное значение, отличающееся от истинного. И чем меньше отличие результата измерений от истинного значения, тем выше точность измерения.

Точность измерения - это степень приближения результата измерения к его истинному значению.

А само отличие, т. е. отклонение результата измерения от истинного значения, называют

ошибками или погрешностями измерения.

Если измеряемая физическая величина А имеет истинное значение Аист, а результат измере-

ния А, то абсолютная погрешность будет равна:

Очевидно, что абсолютная погрешность измеряется тех же единицах измерения, что и сама физическая величина, т.е. абсолютная погрешность измерения является величиной, обладающей размерностью.

Для сравнения точности измерений с самой измеренной физической величиной вводят понятие относительной погрешности, которая равна отношению абсолютной погрешности к истинному значению физической величины:

Обычно относительную погрешность выражают в процентах:

Т.к. истинное значение измеряемой величины остаётся нам неизвестным, то абсолютная погрешность А (см. формулу (2)) является приближенной оценкой. Можно утверждать, что истинная абсолютная погрешность меньше А или больше А. Следовательно, мы можем только указать с некоторой вероятностью Р < 1, что истинное значение измеряемой физической величины находится внутри некоторого интервала, величину которого графически можно изобразить следующим образом:

Указанный интервал – формула 5 и (рис.1) называется доверительным интервалом, а вероятность Р - доверительной вероятностью. Доверительная вероятность приблизительно равна доле измерений, результаты которых попадают в этот интервал, т.е. отличаются от истинного значения на величину не большую чем А.

2.2. Теория погрешностей

2.2.1. Классификация погрешностей

Погрешности измерений по причине проявления могут быть классифицированы на систе-

матические, случайные и промахи (грубые погрешности).

2.2.1.1. Систематическая погрешность

Систематическая погрешность - составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной для данного ряда измерений, или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины одним и тем же средством измерения.

4

Этот вид погрешности наиболее существенно искажает результаты измерений, поэтому систематическая погрешность подлежит исключению, насколько это возможно, путем введения поправок. Источниками систематической погрешности являются:

1.неисправность средства измерения; «сбитый» нуль прибора; неправильная установка прибора; неточность метода измерения; воздействие внешних факторов; изменение температурного режима (нагрев проводников приводит к увеличению сопротивления) и т.п.;

2.погрешности самих средств измерений, их называют инструментальными или приборными. Эти погрешности приведены в технических паспортах на средства измерений.

Согласно ГОСТ 8. 401 – 80 на электроизмерительные приборы вводится характеристика – класс точности прибора. Наибольшую допустимую приведенную погрешность прибора называют классом точности этого прибора. Эта характеристика обозначается буквой γ и определя-

ется максимальным значением приведенной погрешности прибора, выраженным в процентах:

Приведенная погрешность равна отношению максимальной (предельной) допустимой для данного прибора погрешности ΔΑmax к нормирующему значению ΑΝ , выраженному в процен-

тах.

Если нормирующее значение, неизвестно из паспорта средств измерений, то за нормирующее значение принимают: а) верхний предел измерения прибора; б) сумму пределов измерения по левой и правой частям шкалы, если шкала прибора двухсторонняя; в) среднее арифметическое верхнего и нижнего пределов измерения, если шкала прибора безнулевая.

Электроизмерительные приборы классифицируются по 8 классам точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4.

Наиболее точными приборами являются приборы 0,05 (первого класса точности). Приборы первых четырех классов точности применяют для точных лабораторных измерений. Класс точности прибора наносят на шкалу ЭИП в виде числа из двух значащих цифр иногда обведенных окружностью, иногда подчеркнутых. Шкала прибора служит для отсчета значения измеряемой величины.

Если, например, имеется вольтметр класса точности γ =1,5 с пределом измерения 100 В, то для определения инструментальной погрешности воспользуемся выражением (6), откуда:

В нашем случае γ =1,5, нормирующее значение ΑΝ =100 В (верхний предел измерения).

После подстановки получим:

ΔΑmax =1,5 В.

Значение инструментальной погрешности в дальнейшем будем обозначать ±λ , поэтому запишем:

λ = ±1,5 В.

Если класс точности средств измерения не указан на приборе и нет паспортных данных, то за предельное значение погрешности принимают половину цены минимального деления шкалы прибора.

Делением шкалы называется промежуток между двумя соседними отметками шкалы.

Цена деления шкалы – разность значений величины, соответствующих двум соседним отметкам шкалы.

Итак, если все источники систематической погрешности «устранены», то за систематическую погрешность принимается погрешность измерительного прибора, которая оценивается так, как показано выше. Если при повторных измерениях получается одно и тоже значение фи-

5

зической величины, то при вычислении абсолютной погрешности результата измерений вместо абсолютных погрешностей отдельных измерений подставляют погрешность средства измерения.

Измерения подразделяют на однократные и многократные.

Однократным техническим измерением называется измерение, результат которого получается после измерения, проведённого один раз. В качестве абсолютной погрешности технического однократного измерения берётся абсолютная погрешность электроизмерительного прибора, или:

1.цена деления шкалы - если условия измерения плохие;

2.половина цены деления шкалы, если условия измерения хорошие. Рассмотрим пример.

Пусть при проведении некоторого эксперимента использовался вольтметр, имеющий диапазон измерений 0÷300 В и класс точности γ = 2,5. Показания прибора U=267 В. Найти величину абсолютной инструментальной погрешности электроизмерительного прибора.

Оценим погрешность такого прямого однократного измерения. Абсолютная инструментальная погрешность определяется через класс точности по формуле (7):

Т.к. погрешность результата измерения определяется целиком абсолютной инструментальной погрешностью, то мы получили ответ на наш вопрос.

Ответ. Величина абсолютной инструментальной погрешности электроизмерительного прибора равна: λ = U = 7,5 В.

2.2.1.2. Случайная погрешность

Случайная погрешность – составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом по величине и знаку при многократных измерениях одной и той же величины.

Она вызвана случайными колебаниями внешних условий измерений, самого объекта измерения, работы приборов и органов чувств экспериментатора. Так при измерениях штангенциркулем невозможно обеспечить одинаковую силу сжатия детали, это случайно изменяющаяся сила вызове деформацию детали и приведет к отклонению результата от его истинного значения. Но даже и при одинаковой силе сжатия показания штангенциркуля будут разные, если измерять диаметр цилиндра в разных сечениях, что говорит о колебаниях диаметра из-за неточности изготовления детали. В этом случае сама измеряемая величина – диаметр неточно определена, т.е. содержит случайную погрешность.

Случайную погрешность можно уменьшить, стабилизируя условия измерений, используя более современные приборы, методы, но полностью исключить ее невозможно. Даже, если при многократных измерениях результаты повторяются, то это не значит, что случайная погрешность исключена. В этом случае не хватает чувствительности и точности измерительного прибора. Повысив точность (взяв микрометр), можно заметить, что получился разброс (рассеяние) значений диаметра цилиндра. Если этот разброс больше точности микрометра (0,01 мм), то он обусловлен дефектами изготовления самого цилиндра и дальнейшее использование более точных приборов теряет смысл, т.к. сама измеряемая величина содержит случайную погрешность в сотых долях миллиметра. В этом случае следует увеличить число измерений и учесть случайную погрешность специальной математической обработкой результатов. Нужно отметить, что увеличение числа измерений тоже не исключает случайную погрешность, а позволяет точнее определить ее при обработке методами теории вероятностей, для которой достоверность полученных результатов растет с увеличением числа измерений (распределение Гаусса).

6

2.2.1.3. Грубая погрешность (промахи)

Грубая погрешность (промахи) – это резко отклоняющиеся от ожидаемых значений результаты, которые должны быть исключены из расчетов. Как правило, причина таких погрешностей – недостаточное внимание или небрежность экспериментатора (неверный отсчет по шкале или неверная запись, резкое изменение условий). Устранить уже допущенные погрешности можно, анализируя полученные результаты с помощью теории вероятности по следующей методике.

Исключение грубой погрешности из результатов многократных, прямых измерений

Пусть в результате измерений получена серия значений измеряемой физической величины А: А1; А2; А3…АN.

Для исключения грубой погрешности необходимо:

1.Провести ранжирование результатов, т.е. переписать результаты в виде возрастающей последовательности от Аmin до Аmax

2.Определить размах: R = Аmax – Аmin (8), как разность между наибольшим и наименьшим значениями этого последовательного ряда

3.Проверить результаты Аmin и Аmax на грубую погрешность, т. к. они могут резко отличаться от ожидаемых результатов по схеме:

а) рассчитать отношения:

где (А2 – А1) - разность двух первых (соседних) результатов измерений, а (АN – АN-1) - разность двух последних результатов измерений ранжированного ряда.

б) найти QT - критерий для исключения грубой погрешности из таблицы (см. стр. ) для проведенного числа опытов N и данной доверительной вероятности Р = 0,95.

в) сравнить полученные отношения Q1 и QN с табличным значением QT и сделать вывод о наличии грубой погрешности:

•если Q1 и QN ≤QΤ , то данная серия результатов не содержит грубую погрешность;

•если Q1 или QN >QT , то проверяемый результат исключается из дальнейшей обработки.

В этом случае проверяют результат А2 или АN-1 на грубую погрешность, повторяя предыдущие рассуждения.

Таблица 1

7