геометрия метод указания

Решение задачи 55.

â ∩ .

Построить проекции точки пересечения

прямой с поверхностью:

c2

À

Зона видимости

Алгоритм построения.

â =Ê

относительно П1

2

∩

2

2

â

= Ê

1 ÃÏÇ, 2 àëã.

â2 =Ê2

в - фронтально проецирующая прямая.

S2

- конус вращения

S2

(пов-ть непроецирующая)

2

1) â _ Ï2 â2 = Ê2

À1

2

c1

.

2) Ê1

Ê1

Горизонтальную проекцию К1 можно

Ê1

построить 2-мя способами:

по принадлежности - образующей или

1

1

по принадлежности параллели.

â1

S

3) Определяем видимость прямой и

â1

S

поверхности конуса на П1 .

1

4) Íà Ï2 при данном расположении

1

1 способ: т.К принадлежит

конуса все точки видимы, в т. ч. и К2 .

2 способ: т.К принадлежит

образующей SA(S2 A2 → S1 A1 )

параллели с(с2

→ñ1 )

Решение задачи 57.

Построить проекции линии пересечения заданных плоскостей: Σ ∩ Γ(à 2 b) = m.

Алгоритм построения.

12

b2

Σ ∩ Γ(а 2 b) = m(прямая)

2 ÃÏÇ,

2 àëã.

1) S _ Ï1 m1 = Σ1

22

2) m2

Γ

à2

a1 ∩ ò1 = 11 → 12

S

= m

ò2

b1 ∩ ò1 =21 → 22

1

1

a1

21

b1

12

m

b

11

2

2

22

Íà Ï2

отрезок 12 22 (ò2 ) будет фронтальной

à2

проекцией линии пересечения.

S1 = m1

a1

21

b1

Ð-42

11

Решение задачи 58.

Построить проекции линии пересечения поверхностей с плоскостью: Σ ∩ Γ = ò; Λ ∩ Γ = l 1,l 2.

Σ2

Построения проводим для каждой поверхности

отдельно:

1. Цилиндрическая поверхность Λ ∩ Γ = l 1,l 2

(2 образующие цилиндра). Это 2 ГПЗ. Случай, когда

обе фигуры проецирующие, но относительно одной и

той же плоскости проекций (см. М3, стр. 24).

Λ2

Поэтому решаем эту часть задачи по 2 алгоритму.

Γ

Γ - горизонтально проецирующая плоскость;

1

Λ - горизонтально проецирующая поверхность.

Общим элементом пересечения будут являться две

образующие l 1 è l 2 - горизонтально проецирующие

прямые.

Λ1

Σ1

Λ2

Γ1

l

2

Ðèñ. 58.1

1

l 12

(l 22 )

Σ1

Λ2

Γ1

Λ1

1

2

l 1

l

Γ || Ï

} l 11 è l 21 - точки.

1

Λ || Ï1

1

Ðèñ. 58.2

Σ2

Λ1

Σ1

11

l

Находим фронтальные проекции образующих

l(l 12 ,l 22 ) по принадлежности Λ, ñ ó÷¸òîì

Γ1=ò1

видимости.

Ðèñ. 58.3

2. Конус Σ ∩ Γ = т (гипербола).

2 ÃÏÇ, 2 àëã.

Эту задачу решаем точно так же, как

Σ1

описано в М3 стр.13.

Γ || Ï1 ò1 = Γ1 (ðèñ. 58.4).

Ð-43

Ðèñ. 58.4

Σ2

4

На т возьм¸м 7 точек и строим их, как описано

2

52

1

32

â Ì3-13.

ò2

,1 ) и 7(7 ,7 ) расположены на основании

à) Ò. 1(1

1

2

1

2

22

(62 )

конуса; т. 5(51 ,52 ) - на очерковой образующей конуса,

12

она определяет видимость гиперболы относительно П2 ,

(72 )

Γ1

так как расположена в плоскости фронтального

=ò1 меридиана;

71

á) ò.4(41 ,42 ) - вершина гиперболы (41

- ближайшая

61

к центру вращения);

â) ò. 2(21 ,22 ) è 6(61 ,62 ) - промежуточные, лежат

51

на одной параллели; т. 3(31 ,32 ) - промежуточная, лежит

на одной параллели с т. 5(51 ,52 ).

41

Σ1

3

г) Строим т2

с уч¸том видимости..

1

21

11

Σ2

4

Ðèñ. 58.5

2

52

ò2

32

:

22

(6

)

è

12

2

÷

à

ä

à

ç

(7

)

ÿ

1

è

2

2

í

l

å

2

(l

2 )

ø

Λ2

å

ð

ä

è

â

é

Γ1=ò1

è

ù

á

Î

71

(l

2

)

61

1

51

41

Σ1

3

21

1

Λ1

(l 11 )

11

Ðèñ. 58.6

Ð-44

Решение задачи 60.

Построить три проекции шара со сквозным отверстием.

Эта задача является аналогом задачи,

рассмотренной в М3, стр. 14-15, с той

разницей,что в М3 пересекаются поверх-

ности сферы и призмы, а в данной задаче -

тело шара с призматическим вырезом;

кроме того, в М3 призма - горизонтально

Σ2

2

проецирующая, а в данной задаче вырез

имеет форму фронтально проецирующей

призмы. Однако, принцип решения тот же.

Ã2

Сквозное отверстие представляет собой фрон-

тально проецирующую трехгранную призму.

Каждая грань - это секущая плоскость на шаре.

Алгоритм построения разделим на три этапа:

1. Сечение шара плоскостью Σ(Σ2 ).

2. Сечение шара плоскостью

( 2 ).}2 ÃÏÇ, 2 àëã.

Ðèñ. 60.1

3. Сечение шара плоскостью Ã(Ã2 ).

Зона видимости относит. П1

72

62

52

32

42

33

22

y

12

2

Σ2

13

Ã2

y

1 ýòàï.

Σ(Σ2 ) - фронтально проецирующая пл-ть. При

y

сечении этой плоскостью шара получаем кривую -

эллипс на П1

è íà Ï3 .

(11 )

Íà Σ2 возьм¸м 7 точек. Построения на П1

начинаем с характерных точек:

ò. 1(12 ) принадлежит фронтальному меридиану → 11 ;

y

ò. 3(32 ) принадлежит экватору и определяет видимость

эллипса на П1 → 31 .

Так как эллипс на П1 симметричен относительно плоскости фронтального

31

Ðèñ. 60.2

меридиана, то точки на П1 будем обозначать только в одной полусфере.

Находим эти точки на П3 . Точка 1(12 ) принадлежит

Ð-45

профильному меридиану → 13 (относительно П3 - ýòî

характерная точка).

60.

Зона видимости

õ

õ

относит.П3

õ

(73 )

72

ä÷àè àç

62

(63 )

5

53

åÿèí åðø

42

2

43

õ

3õ

õ

õ

33

22

2

23

12

R

2

ежеин олод Пр

Σ2

õ

Ã2

13

õ

R

y

y

Ðèñ. 60.5

Достроив остальные профилльные проекции

(11 )

точек с учетом видимости, соединим их,

получим кривую неполного эллипса..

71

(21 )

31

4

5

61

1

1

72

(73 )

62

(63 )

5

53

42

2

43

82

32

33

22

23

12

92

2

Σ2

R

10

Ã2

13

103

2

(93 )

Ðèñ. 60.6

2 ýòàï.

(

2 ) - горизонтальная плоскость уровня создает

(11 )

R

при сечении шара неполную окружность на П1 - íåâè-

димую, а на П3 окружность проецируется в прямую,

видимую от т.13 äî ò.103

и невидимую часть от

ò.103 äî 93 .

(101 )

71

(21 )

(91

)

31

41

51

61

Ð-46

06.

72

(73 )

62

(63 )

äè÷à àç

5

53

42

2

(83 )

43

82

32

33

ÿèíå øåð

22

R

23

12

92

2

Σ2

10

Ã2

13

103

åèíå æëîä îðÏ

2

(93 )

R

Ðèñ. 60.7

3 ýòàï.

Ã(Ã2 ) - профильная плоскость уровня при сечении

(11 )

шара создает:

íà Ï3

- неполную окружность (невидимую);

íà Ï1

проецируется в два отрезка

видимых

(101 )

71

îò 71

äî 81 и невидимых от 81 äî 91 .

(21 )

81

(91 )

31

4

5

61

1

1

72

(73 )

62

(63 )

5

53

42

2

(83 )

43

82

32

33

22

23

12

92

2

Σ2

10

Ã2

13

103

2

(93 )

Ðèñ. 60.8

(11 )

Уточняем контур видимых линий на П1 è Ï3 .

(101 )

71

(21 )

81

(91 )

Ð-47

31

4

5

61

1

1

0.6

72

(73 )

è÷àä àç

62

(63 )

53

ÿèíå øåð

5

42

2

(83 )

43

82

32

33

åèíå æëîä îðÏ

22

R

23

12

92

2

Σ2

102

Ã2

13

103

R

(93 )

Ðèñ. 60.7

3 ýòàï.

Ã(Ã2 ) - профильная плоскость уровня при сечении

(11 )

шара создает:

íà Ï3

- неполную окружность (невидимую);

íà Ï1

проецируется в два отрезка

видимых

(101 )

71

îò 71

äî 81 и невидимых от 81 äî 91 .

(21 )

81

(91 )

31

4

5

61

1

1

72

(73 )

62

(63 )

5

53

42

2

(83 )

43

82

32

33

22

23

12

92

2

Σ2

10

Ã2

13

103

2

(93 )

Ðèñ. 60.8

(11 )

Уточняем контур видимых линий на П1 è Ï3 .

(101 )

71

(21 )

81

(91 )

Ð-48

31

4

5

61

1

1