- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Свойства числовых рядов
- •1.3. Ряды с положительными членами
- •1.3.1. Достаточные признаки сравнения знакоположительных рядов. Эталонные ряды
- •1.3.2. Достаточные признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов
- •1.4. Ряды с произвольными членами
- •1.5. Знакочередующиеся ряды
- •2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
- •2.1. Определение, область сходимости
- •2.2. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •2.3. Степенные ряды
- •2.4. Разложение функций в степенные ряды
- •2.5. Приложения рядов к приближённым вычислениям
- •2.6. Решение задачи Коши с помощью степенных рядов
- •3. РЯДЫ ФУРЬЕ
- •3.1. Ряды и коэффициенты Фурье
- •3.2. Условия и теорема Дирихле
- •3.3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций
- •3.5. Сдвиг сегмента разложения
- •3.6. Изменение длины сегмента разложения
- •3.7. Интеграл Фурье (как предельный случай ряда Фурье)
f (x ) = x + 2π , |
если − π ≤ x ≤ 0, |
|
||
|
x , |
если |
0 < x ≤ π . |
|
Решение. При непосредственном вычислении |
||||
|
π |
|
0 |
π |
an = π1 |
∫ f (x )cosnxdx = π1 |
∫ (x + 2π )cosnxdx |
+ π1 ∫ xcosnxdx . |
|
|
− π |
|
− π |
0 |
Интегрируем по частям: в первом интеграле и = х + 2π, во втором интеграле и = х,
соответственно dx = du, cosnxdx = dv, v = |
sin nx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
= 1 |
x + 2π sin nx |
|
0 |
+ cosnx |
|
0 |
|
+ |
x |
sin n |
|
|
π + cosnx |
|
π |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
π |
|
|
n |
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
n |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
[1 − cosnπ + cosnπ − 1] = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
πn 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= π1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрируе |
|
||||||||||||||||||
bn |
|
∫ (x + 2π )sin nxdx |
|
+ ∫ x sin nxdx |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по частям |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = dx, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = cosnx |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2π )cosnx |
0 |
|
sin nx |
|
0 |
− xcosnx |
π |
sin nx |
|
π |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= π1n − |
−π + |
|
|
n |
|
|
|
0 + |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
1 |
|
[2π + π cosnπ − π cosnπ ] = |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
π |
|
|||||
a |
|
= 1 |
|
|
(x + 2π ) dx + |
|
xdx = |
1 |
|
|
|
|
+ 2πx |
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
π ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
2 |
|
|
|
|
|
− π |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− π |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
π 2 |
|
2 |
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
− |
|
|
|
|
+ 2π |
|
+ |
|
|
|
|
|
= 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
S(x ) = π + 2∑ sinnnx ,
n = 1
3.6. Изменение длины сегмента разложения
Задача. Разложить функцию у = f(x) в тригонометрический ряд Фурье на сегменте [a, a + 2l],
причём 2l ≠ 2π (l > 0) (см. формулу (11.4)).
Решение. Положим x = πl t (т. е. изменим масштаб на оси ох).
Так как изменение масштаба не влияет ни на кусочную монотонность, ни на кусочную непрерывность, то условия Дирихле сохраняются:
|
xπ |
|
|
aπ |
aπ |
|
|
|
|
|
|
t = |
|
→ |
[a, a + 2l ] → [ l |
, |
|
+ 2π ], |
|
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
|
||||||
т. е. в новом масштабе длина сегмента разложения равна 2π. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
aπ |
|
aπ |
|
|
Разложим теперь в тригонометрический ряд Фурье функцию у на сегменте [ |
l |
, |
|
+ 2π ]: |
|||||||
l |
|||||||||||
f (πl |
t ) = |
a0 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
||
+ ∑ (an cosnt + bn sin nt ), |
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
36
|
|
|
aπ |
+ 2π |
|
|
|
|
|
|
|
воспользуемся |
|
|
π |
|||||
an |
= π1 |
l |
∫ f (ltπ )cosntdt |
|
леммой, положив |
|
= π1 ∫ f (ltπ )cosntdt |
|||||||||||||
|
|
|
aπ l |
|
|
|
|
|
|
|
λ = −π − |
aπ |
|
|
|
− π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||
bn |
= π1 |
|
π∫ f (ltπ )sin ntdt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
− π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вернёмся к старой переменной x |
= |
l |
t , dx = |
l |
dt : |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
a |
∞ |
|
|
|
xn π |
|
xn π |
), |
|
|
|
|
||||||
f (x ) = |
+ ∑ (an cos |
|
|
(11.19) |
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
+ bn sin |
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
xn π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где an |
|
= 1l ∫ f (x )cos |
|
dx, n = 0, 1, 2, …; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
− l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
xn π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
bn |
= 1l |
|
∫ f (x )sin |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− l
Может оказаться, что функция f(x) является чётной или нечётной на отрезке [−l, l]. Тогда её разложение и формулы коэффициентов принимают следующий вид:
f(x) — чётная:
|
a |
∞ |
|
|
xn π |
|
|
|
|
|
|
||||
f (x ) = |
|
0 |
+ ∑ancos |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||
|
2 |
l |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
xn π |
|
|
|||
где an |
= 2l |
∫ f (x )cos |
|
dx, |
n = 0, 1, 2, … |
||||||||||
|
|
l |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) — нечётная: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∞ |
|
xn π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x ) = ∑bnsin |
, |
(11.21) |
|
||||||||||||
l |
|
||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
xn |
π |
|
|
|||
где bn |
= 2l |
∫ f (x )sin |
|
dx, |
n = 1, 2, …. |
||||||||||
|
|
|
l |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 3 − х , [−3, 3]. С помощью полученного
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
разложения вычислить сумму числового ряда ∑ |
|
1 |
|
. |
||||
(2n − 1) |
2 |
|||||||
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Перепишем функцию в виде |
|
|
|
|
||||
f (x ) = 3 − x , |
если |
0 ≤ x < 3, |
|
|
|
|
||
|
3 + x , |
если − 3 ≤ x < 0. |
|
|
|
|
||
y |
|
|
Построим её график (см. рис. 11.16). |
|||||
|
|
|||||||
|
3 |
|
Проверим условия теоремы Дирихле: |
|||||
|
|
|
1) f(x) непрерывна на [−3, 3]. |
|
|
|||
−3 0 |
3 |
x |
2) f(x) кусочно монотонна на (−3, 0) и (0, 3). |
|||||
Рис. 11.16 |
|
|
f (− 3 + 0) + f (3 − 0) |
|
|
|
||
|
|
|
3) S(± 3) = |
= 0 = f (± 3). |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Запишем ряд Фурье для чётной функции, используя формулы (11.20) при l = 3:
a ∞ π
S(x ) = 20 + ∑ ancos xn3 .
n =1
Найдём коэффициенты Фурье:
37
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
(3 − x )2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a0 = 32 ∫ (3 − x )dx = − |
32 |
|
|
= 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
3 |
(3 − x )cos |
πnx |
|
|
|
интегрируем по частям |
|
= |
||||||||||
an |
|
= |
|
dx = |
|
|
||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
3 − х = и, du = − dx, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v = ∫ cos |
nπx |
dx = π3n sin |
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
[(3 − x )sin |
|
|
|
cos nπx ]3 = |
|
|
|
|
||||||||||
= |
2 |
|
3 |
nπx |
− |
3 |
6 |
(1 − cosπn) = |
|
|||||||||||||
3 |
(πn)2 |
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
πn |
|
|
|
|
πn |
|
|
3 0 |
|
|
|
|
|
12 ,
=(πn)2
0,
если n = 2k − 1,
если n = 2k.
Коэффициенты найдены, составляем ряд:
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
S(x ) = |
3 |
+ |
12 |
∑ |
1 |
cos |
xn π |
; |
2 |
π 2 |
2 |
3 |
|||||
|
|
|
|
n =1 |
(2n − 1) |
|
|
|
S(x) = f(x) = 3 − x для всех x [−3, 3].
Теперь выполним второе задание: вычислим сумму числового ряда. Точка х = 0 принадлежит отрезку [−3, 3]. Подставим её в выражение суммы ряда
|
3 |
|
12 |
∞ |
|
|
3 − 0 = |
+ |
∑ |
cos0 |
; |
||
2 |
π 2 |
2 |
||||
|
|
|
|
n =1 |
(2n − 1) |
отсюда искомая сумма
∞ |
1 |
|
|
π |
2 |
|
∑ |
|
= |
|
. |
||
|
2 |
8 |
||||
n =1 |
(2n − 1) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
3.7. Интеграл Фурье (как предельный случай ряда Фурье)
Всякую функцию f(x), удовлетворяющую условиям Дирихле, можно разложить на интервале (−е, е) в тригонометрический ряд по формуле
|
a0 |
∞ |
|
nπx |
|
nπx |
|
|
f (x ) = |
+ ∑ an |
cos |
+ bn sin |
, |
||||
2 |
e |
e |
||||||
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
где an |
= 1e ∫ f (t ) cos neπt dt , |
n = 0, 1, 2, …, bn = 1e ∫ f (t ) sin neπt dt . |
||||||
|
|
−e |
|
|
|
|
− e |
Полученное разложение будет справедливо на всей оси ох, если функция f(x) = f(х + 2е), т. е. 2е-периодична.
Рассмотрим предельный случай, когда е → ∞, т. е. непериодической функции, заданной для всех х (−∞, ∞).
Предположим, что:
•на всяком конечном отрезке оси ох функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле;
•сходится несобственный интеграл
∞
∫ f (x ) dx = c, c = const
− ∞
(функция в этом случае называется абсолютно интегрируемой). Сначала преобразуем формулу подставив в неё формулы коэффициентов:
38
|
|
e |
|
|
∞ |
e |
e |
f (x ) = |
1 |
∫f (t )dt |
+ |
1 |
∑ |
∫f (t ) cos neπt dt cos nπex |
+ + ∫ f (t ) sin |
2e |
e |
||||||
|
|
−e |
|
|
n =1 |
−e |
− e |
|
|
|
|
|
nπt |
dt sin |
nπx |
; |
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
затем используем свойство определённого интеграла (от суммы функций) и тригонометрическую формулу
cos(α − β ) = cosα cos β + sin α sin β ,
|
|
1 e |
1 |
∞ |
e |
nπ (x −t ) |
|
||
Тогда |
f (x ) = |
|
∫ f (t )dt |
+ |
|
∑ |
∫ f (t ) cos |
e |
dt . |
2e |
e |
||||||||
|
|
|
−e |
|
|
n =1 −e |
|
|
Оценим первое слагаемое выражения (11.22) при условии, что е → ∞, используя сходимость несобственного интеграла:
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||
|
1 |
∫ f (t )dt |
≤ |
1 |
∫ |
|
f (t ) |
|
dt ≤ |
1 |
∫ |
|
f (t ) |
|
dt |
= |
c |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2e |
2e |
|
|
2e |
|
|
2e |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
−e |
|
|
−e |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
||||
Заметим, что lim |
|
|
c |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
e→ ∞ 2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для оценки второго слагаемого из при е → ∞, введём новую переменную и, которая принимает значения членов арифметической прогрессии:
u1 = πe , u2 = 2eπ , …, un = neπ , …,
с разностью |
u |
n |
= π . |
|
|
||
|
|
|
e |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
1 ∞ |
e |
nπ (x −t ) |
|
∞ |
e |
||
|
dt |
|
|||||
e ∑ ∫ f (t ) cos |
|
e |
|
= π1 ∑ un ∫ f (t ) cos[un (x |
|||
n =1 −e |
|
|
|
|
n =1 |
−e |
∞
− t )]dt = = π1 ∑ F (un ) un ,
n =1
e
где F (un ) = ∫ f (t ) cosun (x − t )dt .
−e
Переходя к пределу при е → ∞, учитывая, что ∑ F (un ) un напоминает интегральную сумму, получим
∞ ∞
f (x ) = π1 ∫ du ∫ f (t ) cosu(x − t )dt .
0 − ∞
∞∞
Правая часть формулы f (x ) = π1 ∫ du ∫ f (t ) cosu(x − t )dt . называется двойным интегралом
0 − ∞
Фурье.
Нетрудно убедиться, что в формуле внутренний интеграл является чётной функцией переменной и, поэтому, используя свойства определённого интеграла, можно записать ещё один вид интеграла Фурье:
∞∞
f (x ) = |
1 |
∫ du ∫ f (t ) cosu(x − t )dt . |
2π |
− ∞ − ∞
Перейдём к другой форме записи интеграла Фурье в виде однократного интеграла. Воспользуемся той же тригонометрической формулой и преобразуем формулу (11.23):
∞ ∞
f (x ) = π1 ∫ du ∫ f (t )(cos ux cos tu
|
|
0 |
|
− ∞ |
∞ |
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
= ∫du |
π |
∫f (t ) cosut dt cosux |
||
0 |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
+sin ux sin tu )dt
∞
+1 ∫f (t ) sin utdt
π
−∞
=
|
|
sin ux , |
|
|
|
|
|
|
|
39
∞
f (x ) = ∫[A (u) cosux + B(u) sin ux ]du,
0
где |
∞ |
A (u) = π1 |
∫ f (t ) cosutdt , |
|
− ∞ |
|
∞ |
B(u) = π1 |
∫ f (t ) sin utdt . |
|
− ∞ |
Пример 6. Представить интегралом Фурье функцию f(x) = e−x, 0 < x < ∞, продолжив её на промежуток (−∞. 0): а) чётным образом, б) нечётным образом.
Используя полученные формулы, вычислить интегралы
∞ |
|
∞ |
|
||
∫ |
cos x |
dx; |
∫ |
x sin x |
dx. |
1 + x 2 |
1 + x 2 |
||||
0 |
|
|
0 |
|
|
Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема на интервале (0, ∞):
∞ |
A |
|
(− e− x )A |
|
∫ |
e− x dx = lim |
e− x dx = lim |
= 1 < ∞. |
|
A → ∞ ∫ |
A → ∞ |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
а) Продолжим функцию на интервал (−∞. 0) чётным образом Новая функция также отвечает условиям Дирихле и абсолютно интегрируема на каждом конечном отрезке [x1, x2] оси ох, т. е. выполняются условия теоремы 2:
x2 |
|
||||
∫ |
|
e− x |
|
< ∞. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
x1 |
|
||||
Воспользуемся формулами |
|
||||
|
|
|
|
∞ |
∞ |
где f (x ) = ∫ A (u) cos uxdu , A (u) = π2 |
∫ e− t cos utdt . |
||||
0 |
0 |
Последний интеграл является циклическим, интегрируя дважды по частям, получим ответ. Можно воспользоваться готовой формулой (см. [3])
∫ eax |
cos bxdx = |
|
|
eax |
|
(a cos bx + b sin bx ). |
|
|
|
|
|||||||||||
a |
2 |
+ b |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив а = −1, b = u, получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e− t |
|
|
|
|
A |
|
A (u) = |
2 |
∫ |
e− t |
cos utdt |
= |
2 |
lim |
|
(− cos ut + u sin ut ) |
= |
|||||||||||
π |
π |
|
+ u 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A → ∞ 1 |
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
u sin uA |
− cos uA |
|
2 |
1 |
|
|
|
||||||
= π |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
= π |
|
|
. |
|
|
1 + u |
2 |
|
|
|
|
|
e |
A |
|
|
1 + u |
2 |
|
||||||||
|
|
A |
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем найденный коэффициент А(и) в первую из формул (11.26)
∞
f (x ) = ∫ A (u) cos uxdx , где f(x) = e−x по условию.
0
Записываем интеграл Фурье
40
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
− x |
2 |
1 |
|
− x |
2 |
|
cos ux |
|
e |
|
= ∫ π |
|
cos uxdu , или e |
|
= π |
∫ |
|
du. |
|
1 + u 2 |
|
1 + u 2 |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
б) Продолжим функцию e−x нечётным образом (см. рис. 11.18). Функция нечётная, поэтому воспользуемся формулами (11.28). Найдём синус-преобразование Фурье:
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
B(u) = π2 ∫ f (t ) sin utdt |
= π2 |
∫ e− t sin utdt . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
∫ e |
ax |
sin bxdx = |
|
|
eax |
(a sin bx − b cos bx), |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
при а = −1, b = u имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
− sin |
ut − u cos ut A |
2 |
|
u |
|
|
||||
B(u) = π |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= π |
|
|
|
. |
||
1 + u |
2 |
|
|
|
|
e |
t |
1 + u |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
A → ∞ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
Искомый интеграл Фурье запишем по формуле |
|
|
|||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x ) = π2 ∫ B(u) sin uxdu , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где f(x) = e−x по условию; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∞ |
u sin ux |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e− x = π2 ∫ |
du. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 + u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь ответим на последний вопрос, выделив нужные интегралы из полученных формул, предварительно положив х = 1 в каждой из них. Тогда соответственно из пункта (а) имеем
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||
e− 1 |
= π2 ∫ |
cos u |
du, |
откуда следует |
∫ |
cos x |
dx |
= |
|
π |
; |
|||||
1 + u 2 |
1 + x 2 |
|
2e |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из пункта (б) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||
e− 1 |
= π2 ∫ |
u sin u |
du, |
откуда следует |
∫ |
x sin x |
dx = |
π |
. |
|||||||
1 + u 2 |
1 + x 2 |
2e |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы получили числовые значения двух несобственных интегралов, тем самым доказав их сходимость.
41
Ахметжанова Галина Васильевна Кошелева Наталья Николаевна Павлова Елена Сергеевна
Теоретический материал по модулю «Ряды»
учебно-методический материал для студента
Подписано в печать________. Формат Печать оперативная. Усл. п. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,4 Тираж экз.
42