Модуль №11. Криволинейные и поверхностные интегралы
Лекция 36. Криволинейные интегралы первого рода
•Понятие криволинейного интеграла
•Свойства криволинейного интеграла первого рода.
•Вычисление криволинейных интегралов в декартовой системе координат
•Вычисление криволинейных интегралов в параметрической системе координат
•Вычисление криволинейных интегралов в полярной системе координат
Лекция 37. Криволинейные интегралы второго рода
•Основные понятия
•Свойства криволинейного интеграла второго рода.
•Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
•Формула Остроградского – Грина.
Лекция 38. Поверхностные интегралы первого рода
•Поверхностные интегралы первого рода
•Приложение поверхностных интегралов второго типа к решениям задач геометрии
Лекция 39. Поверхностные интегралы второго рода
•Поверхностные интегралы второго рода
•Связь поверхностных интегралов первого и второго рода
•Формула Гаусса – Остроградского
Лекция 40.. Основные понятия теории поля
На самостоятельное изучение выносится тема:
•Приложение двойных и тройных интегралов.
•Основные понятия теории поля
12
Банк контрольных итоговых тестов
Тест – тренинг по модулю «Дифференциальные уравнения»
1. Какой тип дифференциальных уравнений имеет следующую
стандартную форму записи: y′ = |
f ( |
y |
) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. с разделяющимися переменными; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
однородное; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
в полных дифференциалах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Решить уравнение: xy′ = y + |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
|
x2 |
|
cx2 |
|||
|
1. y=x; |
2. y = |
|
+ c |
; |
|
|
3. y = |
|
+ c ; |
4. y = |
|
+ cx ; |
5. y = |
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||
3. Определить тип дифференциального уравнения: y′ + y + y x = 0 .
1.Бернулли
2.С разделяющимися переменными
3.Линейное
4.Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y" + 3y' + 2y = e-x н.у. у(0) = –1, y'(0) = 1
|
1) у = е-2х + е-х + хе-х |
2) у = е-2х -2е-х + хе-х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3) у = е2х + е-х – хе-х |
4) у = е2х – е-х + хе-х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. Найти общее решение дифференциального уравнения y" + 16y = –x2 – x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) y = c1cos4x + c2sin4x – x2 + 2x |
|
|
|
2) y = c1e4x |
+ c2e-4x |
+ x2 – 2x – |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
128 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
х2 |
х |
1 |
|
4x |
|
|
-4x |
|
х2 |
|
х |
|
|
|
1 |
|
|
||||
3) y = c1cos4x + c2sin4x – |
|
− |
|
+ |
|
|
4) y = c1e |
+ c2e |
|
– |
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|||||
16 |
16 |
128 |
|
16 |
16 |
128 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№ задания |
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Верный ответ |
2 |
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Тесттренинг по модулю «Кратные интегралы»
1. Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле :
1) S = ∫∫ f (x, y)dxdy |
2) S = ∫∫ρ (x, y)dxdy |
D |
D |
3) S = ∫∫ f (x)dx |
4) S = ∫∫dxdy |
D |
D |
5) S = ∫∫ f (x, y, z)dxdydz |
|
D |
|
2. Вычислить ∫∫ x ln ydxdy , если область D – прямоугольник 0 ≤ х ≤ 4; 1 ≤ у ≤ е;
D |
|
|
|
|
1. 16 |
2. 4 |
3. 12 |
4. 8е |
5. 8 |
3. В полярной системе координат двойной интеграл имеет вид
1) ∫∫ f (cosϕ ,sinϕ )rdrdϕ |
2) |
∫∫ f (sinϕ ,cosϕ )rdrdϕ |
D |
|
D |
3) ∫∫ f (r cosϕ ,r sinϕ )rdrdϕ |
4) |
∫∫ f (r sinϕ ,r cosϕ )rdrdϕ |
D |
|
D |
5)∫∫ f (r cosϕ , r sinϕ )drdϕ
D
4. Координата точки х связана в цилиндрической и декартовой системах координат соотношением
1. x = rsin φ |
2. x = cos φ |
3. x = x |
4. x = sin φ |
5. x = rcos φ |
5. Вычислить в полярной системе координат |
∫∫ ln( x2 + y2 )dxdy |
||
D |
, если D – кольцо |
||
между окружностями x2 + y2 = e2 |
и x2 + y2 = e4 |
|
|
1. 3e2 −1; |
2. πe2 ; |
|
3. πe2 (3e2 −1) ; |
|
4. 3πe4 ; |
|
5. 3πe4 −1 |
14
6. Тройной интеграл обозначается
|
1) ∫∫∫ f (x, y)dxdydz |
|
|
|
|
|
|
2) ∫∫∫ f (x, y, z)dxdy |
|
|
|
|
||||||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3) ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydr |
|
|
|
|
|
|
4) ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz + |
|
|
|
|
||||||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5) ∫∫∫ f (x, y)dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Вычислить в сферических координатах ∫∫∫ |
|
|
|
|
dxdydz |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
+ ( x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
) |
3 / 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где V шарx2 + y2 + z 2 ≤ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
2ln 2 |
2. |
4π ln 2 |
3. |
4π |
|
|
|
|
|
4. |
3π ln 2 |
5. |
4π ln 2 |
4 |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Верный |
|
4 |
|
5 |
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
ответ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тест-тренинг по модулю «Криволинейные и поверхностные интегралы»
1. Криволинейный интеграл по длине дуги записывается в виде
1. ∫ f ( x, y )dA |
4. |
∫ f (x, y)dA+ |
L |
|
AB |
|
|
|
2. ∫ P(x, y)dx |
5. |
∫Q(x, y)dy |
AB |
|
AB |
3. ∫ P(x, y)dx +Q(x,y)dy
AB
2. Вычислить ∫(x − y)dl где К- отрезок прямой от А(0,0) до В (4,3)
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
5 |
2. |
15 |
3. |
5 |
4. |
5 |
5. |
5/2 |
|
4 |
6 |
32 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3. Криволинейный интеграл 2 рода по кривой АВ, заданной параметрически
15
вычисляется по формуле
β |
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
1. ∫ P(x(t), y(t))x′(t)dt |
|
|
2. ∫Q(x(t), y(t))y′(t)dt |
|
|
|
|
||||
α |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
3. ∫ P(x,ϕ (x))dx |
|
|
|
4. ∫Q(x,ϕ (x))ϕ ′(x)dx |
|
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
β |
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
5. ∫ ( P(x(t), y(t))x (t)+ Q(x(t), y(t)y (t)))dt |
|
|
|
|
|
|
|||||
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычислить J = ∫ y 2 dx + (x2 |
+ z)dy + (x + y + z 2 )dz, |
L - отрезок прямой в пространстве |
|||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от точки А(1,0,2) до точки В (3,1,4). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
3 |
2. |
28 |
3. |
95/3 |
4. |
14/3 |
5. |
13 |
||
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Формула Стокса имеет вид…
|
∫∫ |
( |
∂ Q |
− |
∂ P )dxdy |
+ ( ∂ R |
− |
∂ Q |
) dydz |
+ ( |
∂ P |
− |
∂ R |
) dxdz |
= |
|
|
|||||||
1. |
D |
|
∂ x |
|
∂ y |
|
|
|
∂ y |
|
|
∂ z |
|
|
|
∂ z |
|
∂ x |
|
|
|
|
||
∫ Pdx |
+ Qdy |
+ Rdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
∫∫∫ ( ∂ p |
+ |
∂ Q |
+ ∂ R |
)dxdydz |
|
= |
∫∫ |
Pdydz |
|
+ Qdxdz |
+ Rdxdy |
|
|
|
|||||||||
|
V |
|
∂ x |
|
∂ y |
∂ z |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫∫ |
( |
∂ Q |
− |
∂ P |
) dxdy |
= |
∫ |
Pdx |
+ |
Qdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D |
|
∂ x |
|
∂ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
V |
= |
1 ∫∫ xdydz |
+ ydzdx |
+ zdxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
∫∫ |
( |
∂ Q |
+ |
∂ P )dxdy |
= ∫ |
Pdx |
+ Qdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
D |
|
∂ x |
|
∂ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Вычислить J = ∫∫x( y + z)ds , где S- часть цилиндрической поверхности |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
1 − y 2 ,отсеченной плоскостями z = 0 , z = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. 1 |
|
|
|
2. 2 |
|
|
|
|
3. |
3 |
|
|
4. |
4 |
|
|
|
5. |
5. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ задания |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Верный ответ |
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16