ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ

Высшая математика

часть III

Тольятти 2007

3

Введение

Целью изучения дисциплины «Высшая математика» является обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений, выбору рациональных способов реализации этих решений методом обработки и анализа результатов численных и натуральных экспериментов.

Знания математики необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области техники, информационных технологий.

Основные задачи дисциплины состоят в том, чтобы:

•продемонстрировать студентам на примерах математических понятий и методов действие законов диалектики, сущность научного подхода, специфику математики и её роль в развитии;

•развивать у студентов умение самостоятельно расширять и углублять математические знания.

•усилить прикладную направленность курса для изучения специальных дисциплин учебного плана;

•использовать математические методы для решения самых разнообразных задач техники, планирования и прогнозирования, анализа инженерной деятельности.

Математическое образование современного специалиста включает:

•базовую подготовку, состоящую из общего курса математики и специальных математических курсов.

•общий курс формирует у студентов умение исследовать математические модели и решать задачи, обрабатывать и анализировать экспериментальные данные;

•математические методы ориентированы на построение математических моделей, реализуемых на ЭВМ, проведение численных экспериментов, построение оптимальных решений.

После освоения математической программы студент должен знать:

•основные математические понятия такие как, функция, предел, производная, интеграл, дифференциальные уравнения, ряды и методы для решения инженерных задач такие как", дифференцирование, интегрирование, представление функций с помощью рядов,

уметь:

•правильно задавать цель тому или иному процессу, определять условия и ограничения в достижении цели, выбирать критерии оптимальности, проводить натурные эксперименты, формулировать задания, проигрывать на моделях возможные ситуации и получать оптимальные решения с помощью математических методов.

Цель пособия – помочь студенту научиться с наименьшей затратой времени овладеть теоретическим материалом и научиться решать задачи по модулям.

Цель данного пособия – помощь преподавателю в подготовке к лекционным занятиям по «Высшей математике».

4

Инструкция для преподавателя

Преподаватель должен выступать разработчиком дисциплины по образовательной технологии «30 / 70». Задачи преподавателя:

1)Разработка содержания дисциплины:

-проведение анализа и структурирование ГОС дисциплины;

-обеспечение ГОС дисциплины;

-выделение модулей (содержательных единиц дисциплины);

-определение форм организации учебных занятий (установочные лекции,

самостоятельная работа, семинары, деловые игры, мастерские, тренинги и т.д.).

2)Разработка методов и средств контроля обучения студентов:

-подготовка в электронном виде банка заданий для тестового контроля. 3) Разработка методов и форм оценки обучения студентов:

- определение шкалы оценки; - разработка рейтинговой системы.

4) Формирование требований к техническому и организационному обеспечению для

проведения дисциплины.

5)Подготовка и коррекция «пособия» для студента по освоению дисциплины.

6)Проведение вводных и заключительных лекций, помощь студентам в профессиональном самоопределении, обеспечение правильного и эффективного использования «пособия» для студента по освоению дисциплины.

7)Преподаватель взаимодействует с академическими консультантами посредством методических семинаров, инструктажа, консультаций.

8)Взаимодействие преподавателя со студентами может быть непосредственным, но не со всеми студентами, а наиболее способными (успешными, выдающимися). Преподаватель может стать для них научным консультантом для того, чтобы впоследствии студенты стали академическими консультантами по этой дисциплине.

5

Структура дисциплины

III семестр

Модуль №9 Дифференциальные уравнения и их системы

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у’ = f(х).

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным.

Линейные уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли. Метод Лагранжа. Уравнение Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах. Условие тотальности. Уравнения вида у = f(y’) и x = f(y’). Уравнения Лагранжа и Клеро.

Геометрическая интерпретация решений дифференциального уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины.

Численные методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Ломаная Эйлера. Уточненный метод Эйлера.Метод Рунге – Кутта.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнения вида y(n) = f(x). Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка n-1 включительно. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Структура общего решения. Фундаментальна система решений. Определитель Вронского. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения математической физики. Уравнение колебаний струны.

Граничные, начальные и краевые условия. Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье).Решение задачи Коши методом Даламбера .Уравнение теплопроводности.

Модуль № 10. Кратные интегралы

Задачи, проводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл: определение, формулировка теоремы существования, геометрический смысл. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов. Понятие о замене переменных в двойном

6

интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложение двойных интегралов к решениям задач геометрии, физики, механики.

Тройной интеграл: определение, формулировка теоремы существования. Свойства тройных интегралов. Замена переменных в тройных интегралах. Тройные интегралы в цилиндрической и сферической системах координатам. Приложение тройных интегралов к решениям задач геометрии, физики, механики.

Модуль № 11. Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейные интегралы. Криволинейные интегралы первого рода по длине дуги. Свойства криволинейных интегралов первого рода. Вычисление криволинейного интеграла первого типа в декартовых, параметрических и полярных координатах.

Криволинейные интегралы второго рода по координатам. Свойства криволинейных интегралов второго рода. Независимость криволинейного интеграла второго типа от пути интегрирования. Формула Остроградского – Грина.

Вычисление длины дуги. Вычисление массы материальной дуги. Вычисление работы, производимой переменной силой по перемещению материальной точки вдоль кривой.

Поверхностные интегралы первого рода. Свойства поверхностных интегралов первого рода. Поверхностные интегралы второго рода. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. Формула Гаусса – Остроградского.

Основные понятия теории поля: Элементы теории поля. Поток векторного поля. Потенциал. Формула Стокса. Ротор. Оператор Гамильтона. Циркуляция. Дивергенция. Соленоидальное поле.

7