Министерство Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям
и ликвидации последствий стихийных бедствий
______________________________________________________
Академия гражданской защиты
КОМАНДНО-ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра высшей математики
56.05. 04 - Управление персоналом (Вооруженные силы, другие войска, воинские формирования и приравненные к ним органы российской Федерации)
(код и наименование направления подготовки)
Управление персоналом
(наименование профиля подготовки)
специалист _______________________
Квалификация (степень) выпускника
Экзамен по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Перечень вопросов к экзамену по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Тема№1. Комбинаторика
1.Размещение с повторением. 2.Размещение без повторений. 3.Перестановки.
4.Сочетания.
Тема№2.Случайные события и вероятность
5.Случайные события и их классификация. 6.Алгебра событий.
7.Полная группа событий. Вероятность случайного события. 8.Определение вероятности (классическое, геометрическое, статистическое).
Тема№3.Основные теоремы теории вероятностей
9.Сумма и произведение событий, и соотношение между ними. 10.Теорема сложения вероятностей.
11.Зависимые и независимые события. 12.Теорема умножения вероятностей. 13.Вероятность суммы совместных событий. 14.Формула полной вероятности. 15.Теорема гипотез (формула Байеса).
Тема№4.Последовательные независимые испытания
16.Формула Бернулли. Формула Пуассона, как предельный случай формулы Бернулли. 17.Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Тема№5.Случайные величины и их числовые характеристики
18.Случайные величины, их классификация и способы описания. 19.Закон распределения дискретной случайной величины. 20.Функция распределения и ее свойства.
21.Плотность распределения и ее свойства.
22.Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины.
23. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
Тема№6.Одномерные распределения вероятностей системы двух случайных величин
24.Биномиальный закон распределения дискретных случайных величин. 25.Закон Пуассона распределения дискретных случайных величин. 26.Равномерное распределение непрерывных случайных величин. 27.Экспоненциальное (показательное) распределение.
28.Нормальный закон распределения.
29. Двумерные случайные величины и их способы описания. 30.Функция и плотность распределения двумерной случайной величины.
31.Числовые характеристики системы двух случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, корреляционный момент, нормированный корреляционный момент, коэффициент корреляции)
Тема№7.Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения
32. Генеральная совокупность, выборка.
33.Вариационный ряд, статистическое распределение выборки. 34.Полигон, гистограмма.
35.Эмпирическая функция распределения. 36.Выборочное среднее и дисперсия. 37.Точечные и интервальные оценки.
38. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии при известном и не известном среднеквадратическом отклонении.
Тема№8.Статистическая проверка гипотез
39.Статистическая гипотеза, статистический критерий. 40.Критическая область. Ошибки первого и второго рода.
41.Проверка гипотезы о значении параметра (критерий Стьюдента, Фишера).
42. Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины ( критерий Пирсона).
Тема№9.Элементы теории случайных процессов
43. Случайные процессы и их классификация. 44.Способы описания случайных величин.
45.Марковские случайные процессы. 46.Стационарные и нестационарные процессы.
47. Система массового обслуживания (с ожиданием, с ограничением по времени, с приоритетами).
Перечень билетов к экзамену по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Билет № 1
1.Генеральная совокупность, выборка.
2.Плотность распределения и ее свойства.
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 2
1.Формула Пуассона.
2.Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма.
3.Задача.
4.Задач
Билет№3
1. Формула Бернулли.
2 Случайные процессы и их классификация. 3.Задача.
4.Задача.
Билет № 4
1.Локальная теорема Лапласа.
2.Точечные и интервальные оценки.
3.Задача.
4.Задача
Билет № 5
1.Интегральная теорема Лапласа.
2.Точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Смещенные, несмещенные и состоятельные точечные оценки.
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 6
1.Размещение с повторением. Размещение без повторений.
2.Интервальная оценка, ее характеристики (точность, надежность оценки).
3.Задача.
4.Задача.
Билет №7
1.Функция распределения, ее свойства.
2.Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины (критерий Пирсона)
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 8
1.Вероятность попадания случайной величины на заданный числовой промежуток.
2.Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестном среднем квадратическом отклонении.
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 9
1. Вероятность попадания случайной величины на заданный числовой промежуток.
2.Стационарные и нестационарные процессы
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 10
1.Случайные события и их классификация
2.Марковские случайные процессы
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 11
1.Математическое ожидание случайной величины.
2.Система двух случайных величин.
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 12
1.Биноминальный закон распределения дискретных случайных величин.
2.Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной случайной величины.
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 13
1.Закон Пуассона распределения дискретных случайных величин.
2.Функция распределения и ее свойства.
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 14
1.Экспоненциальное (показательное) распределение.
2.Виды событий (испытание и событие; совместные, несовместные, противоположные, достоверные, невозможные, случайные, равновозможные события; полная группа событий; полная группа элементарных событий).
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 15
1.Формула плотности вероятности и ее свойства.
2.Классическое определение вероятности.
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 16
1.Плотность вероятности и ее свойства.
2.Геометрическое определение вероятности.
3.Задача.
4.Задача.
Билет №17
1.Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, на заданный числовой промежуток.
2.Дисперсия случайной величины.
3.Задача.
4.Задача.
Билет №18
1.Вычисление вероятности попадания на заданный интервал.
2.Система массового обслуживания (с ожиданием, с ограничением по времени, с приоритетами).
3.Задача.
4.Задача.
Билет № 19
1.Числовые характеристики системы двух случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, корреляционный момент, нормированный корреляционный момент, коэффициент корреляции)
2.Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий.
3.Задача.
4.Задача.
Билет №20
1.Дисперсия и ее свойства.
2.Проверка гипотезы о значении параметра (критерий Стьюдента, Фишера).
3.Задача.
4.Задача.
Билет №21
1.Функция распределения и ее свойства.
2.Формула полной вероятности.
3.Задача.
4.Задача.
Перечень задач к экзамену по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
1. Среднее значение |
случайной величины |
х, имеющей показательное |
распределение, равно 10. |
Найти вероятность того, что значение х не превысит 20. |
|
2. Для случайной величины х, заданной рядом распределения
х |
-1 |
0 |
1 |
р |
0,2 |
0,6 |
0,2 |
Найти функцию распределения, построить ее график. Найти математическое ожидание и дисперсию.
3. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [-3; 2]. Найти плотность и функцию распределения этой случайной величины.
4.Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15, 25).
5.Дан ряд распределения случайной величины х:
х |
1 |
3 |
х3 |
р |
0,25 |
0,25 |
р3 |
Найти х3 и р3 среднее квадратическое отклонение, если известно, что математическое ожидание х равно 3.
6. Найти функцию распределения непрерывной случайной величины, если ее
плотность в интервале (0,1) равна f(х)=2х, вне интервала (0,1) f(х)=0. Построить их графики. Найти М(х), (x).
7.Производится испытание двух работающих независимо друг от друга приборов. Время Т безотказной работы каждого из приборов имеем показательное распределение, причём среднее время безотказной работы одного из приборов составляет 600 часов, другого – 700 часов. Найти вероятность того, что в течении времени t=500 часов хотя бы один из приборов откажет.
8.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,8. Чему равна вероятность попадания в мишень 2 раза из 3 выстрелов. Какое распределение имеет случайная величина х- число попаданий из 3 выстрелов? Чему равно М(х).
9.Дан ряд распределения дискретной случайной величины
х |
x1 |
1 |
4 |
р |
0,3 |
0,4 |
р3 |
Найти x1, Р3 , если известно, что математическое ожидание равно 1.
10. Дана функция распределения непрерывной случайной величины
F( x )= |
|
2 |
0 |
x≤2 |
|
−4 x+4, 2≤x≤3 |
|||
|
x |
|||
|
{ |
|
1, |
x>3 |
Найти плотность распределения f(х), М(x), (x).
11. Чему равна вероятность попадания показательно распределенной случайной величины с параметром =0,4 в интервал (1,3)?
12. Вероятность появления бракованного изделия 0,02. Купили 4 изделия. Какова вероятность, что среди них 1 бракованное?
13. Цена деления шкалы измерительного прибора ровняется 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего деления. Определить закон распределения ошибки распределения, построить функцию распределения и найти вероятность того, что в результате округления будет сделана ошибка, более 0,04.
14.Ряд распределения случайной величины х
x |
-2 |
Х2 |
2 |
р |
0,1 |
Р2 |
0,3 |
Найти х2 и р2, если известно, что математическое ожидание x равно 1. Найти дисперсию.
15.Среднее время безотказной работы элемента равно 20 часов. Найти вероятность того, что элемент откажет за время 75 ч.
16.Дана плотность распределения
|
0 ,при |
x<0 |
|
f (x )= 2cos 2 x |
при 0≤x≤π /4 |
||
{ |
0, |
при |
x>π /4 |
Найти F(x). Найти математическое ожидание.
17. Вероятность появления бракованного изделия 0,02. Какова вероятность что среди 100 изделий будет не более 2-х бракованных.
18. |
Случайные ошибки измерения |
подчинены нормальному закону со |
|
σ =20 |
мм и математическим ожиданием |
среднеквадратическим отклонением |
||
а=0. Найти вероятность того, что из трёх независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдёт по абсолютной величине
4мм.
19.Случайная величина х распределена равномерно на отрезке (2,4). Найти ее математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения и плотность распределения х, их графики.
20.Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного
закона, заданного функцией распределения |
F( х)=1−е−0. 4 х( х≥0 ) |
. |
21. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины х, имеющей ряд распределения
х |
-1 |
0 |
1 |
р |
0,3 |
0,4 |
0 |
|
|
|
3 |
22.Стрельба по подвижной цели ведётся до первого попадания. Вероятность попадания от выстрела к выстрелу не изменяется и равна 0,63. На стрельбу отпущено 3 снарядов. Найти функцию распределения случайной величины х – расхода снарядов и вероятность того, что она заключена в пределах от двух до трех.
23. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Пусть сделано 4 выстрела. Какое распределение имеет случайная величина x-число попаданий в цель из 4-х выстрелов. Какова вероятность того, что будет ровно 2 попадания. Найти М(x)?
23.Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение равномерно распределенной на отрезке (2,6) случайной величины. Постройте графики ее плотности и функции распределения.
25. Для дискретной случайной величины, заданной рядом распределения
х |
2 |
4 |
7 |
р |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
Построить функцию распределения. Найти М(x),Д(x ).
26. Чему равна вероятность попадания показательно распределенной случайной величины с параметром =0,4 в интервал (1,3)?
27.Время t обнаружения цели радиолокатором распределено по показательному закону. Найти вероятность того, что цель будет обнаружена за время от 5 до 15 с после начала поиска, если среднее время обнаружения цели равно 10 с.
28.Среднее значение случайной величины х, имеющей показательное распределение, равно 10. Найти вероятность того, что значение х не превысит 20.
29.Для дискретной случайной величины, заданной рядом распределения
х 
1 
3 
Х3
р |
Р1 |
0,5 |
,25 Найти р1 и х3, среднее квадратическое отклонение, если известно, что
математическое ожидание х равно 3.
30.Чему равна вероятность того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, если вероятность не появления события А в одном испытании равна 0,3?
31.Непрерывная величина Х распределена по показательному закону: f(x)=0 при x<0; f(x)=2e-2x при x 0. Найти вероятность попадания значений величины Х в интервал (0,1; 0,7).
32.Дискретная случайная величина задана рядом распределения
х |
1 |
3 |
Х3 |
р |
0,25 |
Р2 |
0,5 |
Известно, что М(х)=3. Найти х3 и р2 , среднее квадратическое отклонение.
33.Найти функцию распределения и математическое ожидание непрерывной случайной величины, если ее плотность распределения в интервале (0,1) равна р(х)=2х, вне интервала р(х)=0.
34.Отвечающий помнит, что плотность показательного распределения имеет вид f(x)=0 при x<0; f(x)=Сe- x при x 0; однако он забыл, чему равна постоянная С. Требуется найти С.
35.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Какое распределение имеет случайная величина х-число попаданий в цель из 4 выстрелов? Какова вероятность того, что х=3? Чему равно М(x)?
36. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного 
закона, заданного плотностью распределения f (х )=10 е−10 х( х≥0 ) .
37. Для случайной величины х, заданной законом распределения
х |
1 |
2 |
4 |
р |
0,1 |
0,3 |
Р3 |
Найти р3, М(x) , Д(x) , (х)
38. Найти функцию распределения непрерывной случайной величины, если
|
х |
|
ее плотность распределения в интервале (0,2) равна f(х)= |
2 |
, вне интервала |
|
||
f(х)=0. Нарисуйте их графики. Найти М(х), (х). |
|
|
39. Прибор состоит из двух узлов, которые, безусловно, необходимы для его работы. Один из узлов дублируется точно таким же узлом. Среднее время безотказной работы узла – 500 часов. Считая, что время безотказной работы узла имеет показательное распределение, найти вероятность безотказной работы в течение не менее 800 часов.
40. Время t обнаружения цели радиолокатором распределено по показательному закону. Найти вероятность того, что цель будет обнаружена за время от 5 до 15 с после начала поиска, если среднее время обнаружения цели равно 10 с.
41. По результатам измерений 73, 74, 73, 73, 74, 75, 73 найти интервальную оценку дисперсии с надёжностью β=0,9.
42. По результатам измерений 7,6; 7,8; 7,7; 7,6; 7,7; 7,7; 7,8 найти интервальную оценку математического ожидания с надёжностью β=0,8.
43.По результатам измерений 8,6; 8,9; 8,7; 8,8; 8,5; 8,6; 8,5; найти интервальную оценку математического ожидания с надёжностью β=0,9.
44.По результатам измерений 10,8; 10,6; 10,5; 11,0; 10,9; 10,5; 10,7 найти интервальную оценку математического ожидания с надёжностью β=0,9, если среднеквадратическое отклонение равняется 0,3.
45.По результатам измерений 28,1; 28,6; 29,1; 28,9; 28,7; 28,6 найти интервальную оценку математического ожидания с надёжностью β=0,9.
46.По результатам измерений 1,2; 1,3; 1,2; 1,3; 1,2; 1,4 найти интервальную оценку дисперсии с надёжностью β=0,9.
47.На 2-х автоматах производят одинаковые детали, 1-й автомат производит 80% деталей первого сорта, а 2-ой – 90%. Первый автомат производит ¾ числа всех деталей, а 2-ой – ¼. Взятая наудачу деталь оказалась первого сорта. Найти вероятность того, что эта деталь произведена 1-м автоматом.
48.В стройотряде 70% первокурсников и 30% студентов 2-го курса. Среди первокурсников-10% юношей, а среди второкурсников-5%. Все юноши по очереди дежурят на кухне. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на кухне дежурит первокурсник.
49.В группе 20 курсантов, среди них 6 отличников. По списку |
выбраны |
7 |
курсантов. Найти вероятность того, что среди отобранных |
курсантов |
3 |
отличника. |
|
|
50.В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей а) 2 мальчика б) не более 2-х мальчиков в) более 2-х мальчиков г) не
менее 2-х и не более 3-х мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,58.
51.Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
52.На фабрике изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая
–25%, третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным.
53.Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заводом, на 30% - вторым, на 50% - третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек
соответственно равны: q1=0,001, q2=0,005, q3=0,006. Найти вероятность того, что наудачу взятая из партии лампочка окажется стандартной.
54.В группе 21 курсантов, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один курсант. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку (событие А).
55.На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,1% брака, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 3000 деталей.
56. На распределительной базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено первым заводом и 40% - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных первым заводом, 95 удовлетворяют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 85. Определить вероятность того, что взятая наудачу лампочка будет удовлетворять стандарту.
57. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностью: р1=0,2, р2=0,3, р3=0,5. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий соответственно равна: 0,9; 0,8; 0,7. Определить вероятность того, что радиолампа проработает заданное число часов.
58.Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй – 4 голубых и 4 красных, в третьей – 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным (событие А)?
59.Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.
60.Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех.
62.Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
63.Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.
64.Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 70 и не более 85 раз.
Критерии оценки знаний при проведении экзамена :
Отлично: Обучаемый глубоко, всесторонне знает теоретический материал по изучаемой дисциплине, свободно использует его для решения практических задач, знает алгоритм решения задачи и использует его для получения правильного решения задачи, умеет анализировать полученные при решении задачи результаты и делать выводы.
Хорошо: Обучаемый в целом свободно излагает ответ на теоретический вопрос; может применять положения теории к решения практических задач, знает алгоритм решения задачи и использует его для получения правильного решения задачи, с трудом может анализировать полученные при решении задачи результаты и делать выводы.
Удовлетворительно: Обучаемый знает основные теоретический положения изучаемой дисциплины, но логика изложения ответа на теоретический вопрос нечетка, в общем знает алгоритм решения задачи, но не может в полной мере использовать его для получения правильного решения задачи, не умеет анализировать полученные при решении задачи результаты и делать выводы
Неудовлетворительно: Обучаемый не имеет четких знаний теории по изучаемой дисциплине, логика изложения ответа на теоретический вопрос отсутствует, не знает алгоритма решения практической задачи и не может получить правильного ее решения.
Составитель _____________________________________В.Л. Шимитило
(подпись)
Заведующий кафедрой _________________________В.А.Гринблат
(подпись)
«____»__________________2015 г.