
- •Минобрнауки россии
- •Содержание.
- •1. Цифровые фильтры. Основные понятия
- •Рекуррентные системы
- •Фильтры.
- •Фильтры с конечным временем отклика.
- •Фильтры с бесконечным временем отклика
- •2. Z-преобразование. Фильтры первого порядка z-преобразование
- •Идеальный фильтр
- •Фильтр первого порядка
- •3. Фильтры второго порядка Определение фильтра второго порядка
- •Фильтры высших порядков
- •Фильтр Баттеруорта (Butterworth)
- •4. Фильтры Баттеруорта Отыскание параметров фильтра
- •Полосовой фильтр
- •Полосовой фильтра как последовательное соединение фильтров высоких и низких частот
- •Тангенциальный фильтр
- •5. Fir фильтры Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот
- •Фильтр как осциллятор
- •Фазовый сдвиг сигнала в результате фильтрации
- •Фильтры с конечным временем отклика
- •Проектирование fir фильтров. Сглаживающие окна
- •6. Квадратурный зеркальный фильтр Проектирование fir фильтра на основе аппроксимации
- •Квадратурный зеркальный фильтр
- •7. WaveLet-преобразования
- •Непрерывное преобразование.
- •Шкалирование
- •Wavelet-фильтрация. Детализация сигнала.
- •Wavelet фильтрация
- •Заключение
Непрерывное преобразование.
Пусть
имеется функция
и некоторая функция
- материнская функция. Рассмотрим числа
вида
(1)
Если
,
то в результате получаем обычное
преобразование Фурье ( параметр
не используется по понятной причине).
Формула (1) определяет общееWavelet
преобразование. Существует формула
обратного преобразования, позволяющая
в некоторых случаях восстановить
исходную функцию по ее преобразованию.
Однако основной смысл преобразования
(1) заключается в другом. Величина
не зависит от параметров. Это означает,
что вектор, заданный функцией
,
имеет постоянную длину в смысле
пространства
. Предположим, что удалось найти такие
значения параметров, для которых
достигает локального максимума. Это
означает, что проекция функции
на соответствующую функцию
имеет максимальное значение, поэтому
графики этих функций аналогичны. Положив
,
получим невязку, для которой решается
такая же задача. В результате получаем
приближение исходной функции функциями,
порожденными с помощью функций
.
Это дает альтернативное описание
исходной функции. В зависимости от того,
какого рода особенности требуется
обнаружить, выбирают вид материнской
функции. При цифровой обработке, когда
исходная функция задана лишь в отдельных
точках, используется дискретное
преобразование. Оказалось, что и в общем
случае удается построить теорию,
напоминающую теорию преобразования
Фурье.
На
практике, в качестве материнской функции
при указанном подходе часто используют
функцию
( мексиканская шляпа). Константу
определяют из условия нормировки
Шкалирование
Рассмотрим
множество функций
на вещественной оси. Пусть
,
причем функции
образуют ортонормированную систему.
Это означает, что
(2)
Такую
функцию назовем шкалирующей. Например,
любая функция, имеющая носитель внутри
единичного интервала и норму равную 1,
удовлетворяет условию (2). Обозначим
через
Предложение. Имеет место формула
(3).
Обратно, из (3) следует (2)
Доказательство.
Имеем
.
Поскольку преобразование Фурье является
ортогональным преобразованием,
.
С учетом (2) это означает, что
.
Далее, пусть
.
Преобразование Фурье этой функции есть
.
Теперь
,
так как остальные слагаемы, равны нулю
в силу (2). Заменим сумму интегралом и
продолжим равенство
.
Заменим преобразование Фурье от
произведения сверткой их образов.
Преобразование от первого сомножителя
есть он сам. Таким образом, равенство
продолжается
.
Обратное утверждение доказывается
переписыванием формул в обратном
порядке.
Важным
примером материнской функции является
функция, равная 1 на интервале
и 0 в остальных точках. Такую функцию
обозначим через
.
Wavelet-фильтрация. Детализация сигнала.
Введем
обозначение:
для любой функции
.
Положим
.
Предложение.
Если выполнено условие ортогональности,
то при фиксированном
функции
образуют ортонормированную систему.
Доказательство.
Имеем
при
.
Нормированность проверяется очевидным
образом с помощью замены переменных.
Обозначим
через
линейное пространство, порожденное
функциями
.
Потребуем, чтобы имело место включение
.
Это весьма жесткое ограничение. Оно
выполнено, например, для
.
Для произвольной функции
положим
(1)
-
проекция функции на пространство
.
Коэффициенты разложения это и есть
дискретныеwavelet
преобразования. Чем больше индекс
пространства, тем более точное приближение
исходной функции с помощью
получаем. Эта процедура и называется
детализацией. Наложим на
еще одно дополнительное условие:
потребуем, чтобы
.
Последнее означает, что каждую функцию
из
можно приблизить с произвольной точностью
подходящей функцией из
.
Заметим, что это выполнено для функции
,
поскольку каждую функцию из
можно приблизить ступенчатой функцией.
Как следствие получим, что это верно и
для произвольной функции с носителем
на интервале
,
с помощью которой можно приблизить
функцию
.
Положим
,
где второе слагаемое есть ортогональное
дополнение к первому. Теперь
- прямая сумма попарно ортогональных
пространств. Для
так получается базис Хаара, о котором
будет рассказано позже.