Идеальный фильтр

Под идеальным фильтром понимается фильтр, у которого передаточная функция имеет прямоугольную форму. Покажем, что такой фильтр не является физически реализуемым. Действительно, если , то, откуда вытекает, что бесконечное число слагаемых отличны от нуля, как с отрицательными, так и с положительными индексами. Это означает, что в передаточной функции присутствуют слагаемые, как до момента измерения, так и после. Если бы число слагаемых "после" было бы конечным, то дело свелось бы лишь к временной задержке.

Фильтр первого порядка

Рассмотрим фильтр вида

Это общий вид фильтра первого порядка. Его передаточная функция имеет вид

(3)

Первый вопрос связан с устойчивостью фильтра. Переходя к Z -преобразованию видим, что все сводится к сходимости ряда при Z=1, которая имеет место тогда и только тогда, когда. В простейшем случае припередаточная функция фильтра принимает вид. В зависимости от знакаграфик модуля имеет вид фильтра низких или высоких частот. (Фильтр низких частот пропускает низкие частоты).

3. Фильтры второго порядка Определение фильтра второго порядка

Примером фильтра второго порядка является фильтр . Рассматриваем только вещественный случай. Переходя кZ- преобразованию, получим: . Найдя корни многочлена в знаменателе, перепишем

. Это означает, что фильтр есть последовательное соединение двух фильтров первого порядка. Для устойчивости достаточно потребовать, чтобы все корни были по модулю меньше единицы. Это означает, что . Рассмотрим вещественный случай:. Это область под параболой. Условие на модуль первого корня имеет вид. Возводя второе неравенство в квадрат, получим. Для выполнения первого из неравенств достаточно чтобы. Аналогичное рассмотрение условия на второй корень дает. Окончательно, область имеет форму. Для комплексных корней. Кроме того, квадрат модуля корня равен, откуда вытекает, что. Объединяя обе области, получаем треугольник устойчивости.

Другими словами, если точка с координатами попадает внутрь треугольника, соответствующий фильтр будет устойчивым.

Фильтры высших порядков

Предположим, что передаточная функция фильтра имеет вид

, где в числителе и знаменателе стоят вещественные многочлены, причем имеет степень выше двух. В этом случае имеет место разложениена неприводимые многочлены первой и второй степеней с вещественными коэффициентами, а сам фильтр можно заменить последовательным соединениемфильтров. Еслии сомножители взаимно простые, то для некоторых многочленов. Отсюда следует, что. Другими словами, фильтр можно представить как параллельное соединение двух фильтров. Построив базисные фильтры второго и первого порядка, можно с их помощью реализовать фильтр любого порядка.

Фильтр Баттеруорта (Butterworth)

Это один из базисных фильтров. Фильтр низких частот имеет передаточную функцию

, (1)

Это фильтр порядка М. В зависимости от значений меняются характеристики фильтра. Задача заключается в отыскании вещественных коэффициентов фильтра по заданным параметрам. Будем искать фильтр в виде

. Передаточная функция имеет вид . Положим. ТогдаиДолжно быть выполнено равенство. Слева и справа находятся аналитические функции отz. Если они совпадают на какой-либо линии, они равны всюду, где имеют смысл.