- •Минобрнауки россии
- •Содержание.
- •1. Цифровые фильтры. Основные понятия
- •Рекуррентные системы
- •Фильтры.
- •Фильтры с конечным временем отклика.
- •Фильтры с бесконечным временем отклика
- •2. Z-преобразование. Фильтры первого порядка z-преобразование
- •Идеальный фильтр
- •Фильтр первого порядка
- •3. Фильтры второго порядка Определение фильтра второго порядка
- •Фильтры высших порядков
- •Фильтр Баттеруорта (Butterworth)
- •4. Фильтры Баттеруорта Отыскание параметров фильтра
- •Полосовой фильтр
- •Полосовой фильтра как последовательное соединение фильтров высоких и низких частот
- •Тангенциальный фильтр
- •5. Fir фильтры Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот
- •Фильтр как осциллятор
- •Фазовый сдвиг сигнала в результате фильтрации
- •Фильтры с конечным временем отклика
- •Проектирование fir фильтров. Сглаживающие окна
- •6. Квадратурный зеркальный фильтр Проектирование fir фильтра на основе аппроксимации
- •Квадратурный зеркальный фильтр
- •7. WaveLet-преобразования
- •Непрерывное преобразование.
- •Шкалирование
- •Wavelet-фильтрация. Детализация сигнала.
- •Wavelet фильтрация
- •Заключение
Фильтр как осциллятор
Выше отмечалось, что для сдвига спектра последовательности требуется источник, генерирующий последовательности вида . Обычный способ генерирования таких последовательностей не годится, поскольку возникает проблема подсчета функции от большого аргумента. Существует альтернативный способ генерации, основанный на теории фильтров.
Для устойчивости фильтра достаточно, чтобы все корни находились внутри единичной окружности. Если корни лежат на окружности, фильтр можно использовать для генерации. Рассмотрим уравнение
(1)
Уравнение имеет два корня, поэтому (1) можно записать в виде. Из полученного равенства следуют два рекуррентных соотношения:. Вычитая из первого уравнения второе, получим
Полагая , получим. Аналогично, взяв, найдем, что.
Фазовый сдвиг сигнала в результате фильтрации
При проектировании фильтра учитывался лишь модуль передаточной функции. В общем случае . Здесьаргумент передаточной функции. Если спектр исходного сигнала сосредоточен в точке, то в результате фильтрации, кроме изменения интенсивности, происходит сдвиг фильтрованного сигнала на величинупо отношению к исходному. При сравнении исходного сигнала с сосредоточенным спектром и результирующего наблюдается сдвиг одного относительно другого. В общем случае наблюдается фазовое искажение сигнала, однако, одно не улавливается ухом. В то же время, когда важна фаза сигнала, приходится использовать методы компенсации или фильтр с вещественной передаточной функцией. Для компенсации фазового искажения можно использовать, например, фильтры вида
, где - любое число,. Это устойчивый фильтр, а его передаточная функция имеет вид. Модуль этой передаточной функции равен 1, а аргумент меняется вместе с частотой.
Фильтры с конечным временем отклика
Рассмотрим фильтр, заданный равенством
(2)
Это фильтр с конечным временем отклика (FIR). После преобразования Фурье получим . Если дополнительно предположим, что, то получим симметрический фильтр. Для него передаточная функция будет вещественной, и фильтр не вносит фазовых искажений.
Проектирование fir фильтров. Сглаживающие окна
Предположим, что функция задана на интервале. Представим ее в виде ряда. Для полученияFIR фильтра с аппроксимирующей передаточной функцией можно оставить лишь конечное число слагаемых в этой сумме. Если выбираются максимальные по модулю коэффициенты, то результирующая передаточная функция будет наилучшей аппроксимацией в смысле наименьших квадратов при заданном числе слагаемых. Оказывается, что такой подход не всегда приемлем. Выясним, что происходит при обрезании ряда. Введем функциюравную 1 прии 0 в остальных точках. Тогда. Непосредственно находим, что. График этой функции изображен на рисунке.
Она напоминает функцию, но содержит и боковые лепестки. В результате свертки с оригиналом при вычисленииучаствуют как значения, так и значения этой функции в окрестности лепестков функции.