4. Фильтры Баттеруорта Отыскание параметров фильтра

В левой и правой частях в знаменателе находятся многочлены от переменной z. Найдем корни этих многочленов. Множество корней по построению инвариантно относительно замены . Для устойчивости фильтра нужно, чтобы корни находились внутри единичного круга. Для отыскания нулей знаменателя в правой части получим уравнение

, откуда , где- корень степенииз -1. Каждое из этих уравнений сводится к квадратному уравнению. Найдем корни этих уравнений и выберем те из них, которые по модулю меньше единицы. Составим произведение. Проблема может возникнуть лишь в случае, когда среди корней окажется корень равный по модулю 1. Такая ситуация не возможна, так как в противном случаедля некоторого.

Фильтр высоких частот

Рассмотрим функцию . Она получена заменой из предыдущей. Это передаточная функция фильтра высоких частот. С другой стороны, из выраженияпри указанной замене получим. Это означает, что фильтр высоких частот можно получить из фильтра низких частот заменой знака у коэффициентов с нечетными индексами.

Полосовой фильтр

Рассмотри выражение , где. Очевидно, что эта функция достигает своего максимума при. Это означает, что передаточная функция изображает полосовой фильтр. При замене в выраженииполучим фильтр с комплексными коэффициентами. Формально - это решение задачи, однако использование комплексного фильтра для фильтрации вещественного сигнала не очень удобно. Поэтому используют выражение вида. Для четного. Оно снова достигает максимума при. Используя ту же технику, что и в предыдущем случае, после заменыснова сведем задачу к отысканию корней квадратного уравнения.

Полосовой фильтра как последовательное соединение фильтров высоких и низких частот

При последовательном соединении фильтров высоких и низких частот их передаточные функции перемножаются. В результате получаем передаточную функцию полосового фильтра. Это наиболее простой способ получения полосового фильтра, но при этом повышается размерность.

Тангенциальный фильтр

Для случай фильтра низких частот в синусоидальном фильтре на конце интервала не достигался 0. Рассмотрим функцию

. Теперь получается передаточная функция с нулем при . Если, то. Используя тот же прием, получим, что. Для отыскания коэффициентов многочленов в числителе и знаменателе рассматривают нули и полюса передаточной функции.

5. Fir фильтры Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот

В предыдущей лекции было показано, каким образом можно построить различные фильтры. Оказывается, любой из таких фильтров можно получить на основе фильтра низких частот с помощью универсальной процедуры.

Сдвиг

Пусть имеется сигнал с преобразованием Фурье. Рассмотрим новую последовательность. По определению. Если нам нужен полосовой фильтр, можем поступить следующим образом. Сдвиг осуществляется генератором на основе осциллятора, о котором будет сказано ниже. Обратный сдвиг осуществляется так же.

Непосредственное применение указанного способа не удобно, поскольку приходится работать с комплексными числами, и в результате обратного сдвига получается, как правило, комплексный сигнал. Выход заключается в преобразовании . В результате. Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр ивыбран так, что носителиине пресекаются, задача решается без применения комплексных чисел. Например, пусть спектрнаходится в интервале 2kHz-4kHz, и требуется получить лишь часть сигнала в диапазоне 2.5kHz-3.5kHz. Выбираем =3kHz и используем фильтр низких частот с полосой пропускания 0.5kHz. После обратного сдвига придется использовать еще один фильтр низких частот с полосой пропускания 3.5kHz.