4. Дискретное wavelet-преобразование

4.1. Кратномасштабный анализ

Теория кратномасштабного анализа [3],[4] базируется на теории функциональных пространств.

Под кратномасштабным анализом пространства понимается описание исходного пространства через иерархические вложенные подпространстваV_m, которые не пересекаются, и объединение которых дает нам в пределе, то есть

Далее, эти пространства имеют следующее свойство: для любой функции , ее сжатая версия будет принадлежать пространству,

.

И, наконец, последнее свойство кратномасштабного анализа: существует такая функция , что ее сдвигиобразуют ортонормированный базис пространства.

На рис. 10. схематично показаны данные вложенные пространства.

Так как функции образуют ортонормированный базис пространства, то функции

образуют ортонормированный базис пространства . Эти базисные функции называются масштабирующими [3]. Из кратномасштабного анализа, определенного выше, следует, что функциявможет быть представлена множеством последовательных ее приближенийв. Другими словами, функцияесть предел аппроксимацийприm, стремящемся к минус бесконечности:

Отсюда появляется возможность анализа функции или сигнала на различных уровнях разрешения, или масштаба. Переменная mназывается масштабным коэффициентом, или уровнем анализа. Еслиmвелико, то функция весть грубая аппроксимацияи детали отсутствуют. При малых значенияхmимеет место точная аппроксимация.

Рис. 10. Кратномасштабное представление .

Из определения кратномасштабного анализа следует, что все функции в могут быть представлены как линейная комбинация масштабирующих функций. В действительности,есть ортогональная проекцияна,

.

Так как , можно записать

, (26)

где - некоторая последовательность. Равенство (26) является одним из основных в теории wavelet -анализа и имеет различные названия в литературе. Чаще всего встречается название - масштабирующее уравнение (refinement equation).

Функция и последовательностьтесно связаны между собой. Выведем соответствующие отношения. Из (26) можно получить

. (27)

Выполним операцию скалярного произведения с обеих сторон равенства (27):

(28)

Отметим, что это равенство выполняется для любого . Далее, если переписать (28) в частотной области, можно получить

. (29)

Рекурсивно повторяя формулу (29), получается выражение

. (30)

Итак, последовательность тесно связана с масштабирующей функцией. Кроме того, концепция кратномасштабного анализа накладывает на нее дополнительные ограничения.

Во-первых, интегрируя (26) по всей числовой оси , можно получить

. (31)

Во-вторых, в силу ортонормальности базисных функций,

.

Третье свойство последовательности сформулируем в спектральной области. Из записи условия ортонормальности функцийв области спектра

можно получить следующее выражение:

. (32)

Равенство (27) эквивалентно тому, что. Тогда из (32) следует, что.

4.2. Wavelet-ряды дискретного времени

В большинстве приложений мы имеем дело с дискретными сигналами. Поэтому, с точки зрения практики представляют интерес дискретные аналоги CWT . К сожалению, формулы для wavelet-преобразования дискретного времени нельзя получить простой дискретизацией соответствующих формул для непрерывного времени. Также невозможно определить кратномасштабный анализ для дискретных сигналов, так как не существует базисных функций, масштабированные и смещенные версии которых давали бы нам базис пространства , пространства квадратично суммируемых последовательностей бесконечной длины.

Рассмотрим сначала, как можно получить представление CWT в виде wavelet-рядов для дискретного времени (DTWS -discrete time wavelet set).

Пусть имеется некоторая непрерывная функция . Наш дискретный сигналпредставим как последовательность коэффициентов при масштабирующих функциях, по которым раскладывается:

.

где . Другими словами, мы интерпретируем наш сигнал как последовательность коэффициентов разложения, полученную в ходе кратномасштабного анализа функции. Тогда мы можем вычислить аппроксимации этой функции, принадлежащие пространствам. Пространстване имеют значения при данной интерпретации.

Согласно концепции кратномасштабного анализа, функция декомпозируется на две функциии:

.

Таким образом, получили две новые последовательности, и. Этот процесс может быть продолжен дляи функция(а также и последовательность) будет представлена совокупностью коэффициентов.

Однако вычисления пока зависят от непрерывных функций и. Поэтому покажем, как вычисления DTWS могут быть выполнены с использованием операций только над дискретными сигналами.

С учетом того, что масштабирующая функция образует базис соответствующего пространства, можно получить:

(32)

Так что оказывается возможным итеративное вычисление коэффициентов ибез непосредственного использования функцийи. По аналогии с (32) можно записать для произвольного,

(33)

(34)

получив, таким образом, полностью дискретный процесс декомпозиции. Последовательности иназываются wavelet-фильтрами. Отметим, чтоиимеют "половинную" длину по сравнению с, хотя на данном этапе все последовательности бесконечны. Таким образом, не вводится избыточность.

Обратный процесс заключается в получении изи:

(35)

Отметим, что в данном случае суммирование производится по другим переменным по сравнению с формулами (33) и (34). Длина последовательности вдвое больше длины последовательностиили.

Подставляя (33) и (34) в (35), получаем следующие ограничения на фильтры и:

, (36)

, (37)

. (38)

Выражение (36) для временной области эквивалентно выражениям (28) и (32) для частотной. Равенства (38) и (38) уже появлялись ранее, но в менее общей форме.

На практике DTWS должно применяться к сигналам конечной длины. Получившееся преобразование называется "дискретное wavelet-преобразование" (DWT).

Вначале опишем DWT в матричном виде, а затем – на основе банков фильтров, что наиболее часто используется при обработке сигналов.

В обоих случаях мы предполагаем, что базисные функции икомпактно определены. Это автоматически гарантирует финитность последовательностейи. Далее предположим, что сигнал, подвергаемый преобразованию, имеет длину.