1.4. Реализация граничных условий Собственные значения и собственные функции

Реализуя в (7) первое из граничных условий (6), имеем

.

Поскольку T(t)не может равняться нулю (в противном случае приходим к тривиальному решению), тои имеем следующий вид решения:

.

Реализуя для последнего соотношения второе граничное условие из (6), получим .

Из подчеркнутой части соотношения видно, что Вине могут обращаться в ноль, а тогда. Откудаи потому-собственные числа решаемой задачи. ЗдесьФункции, соответствующие собственным числам,-собственные функции решаемой задачи. Теперь решение краевой задачи:

Кроме того, при разных значениях имеем разные собственные числа, а тогда и разные значения константии разные решения , которые называются частными решениями. Искомое общее решение получим в виде линейной комбинации этих частных решений

. (8)

Роль коэффициентов линейной комбинации здесь играют неопределенные коэффициенты и. Так как в правой части соотношения (8) мы имеем дело с бесконечным рядом, то для того чтобы этот ряд был решением уравнения (3) необходимо, чтобы сходился как сам ряд, так и ряды, полученные из него в результате двукратного почленного дифференцирования по переменнымx и поt.

В случае если ранее мы приняли бы , т. е. приравняли выражения стоящие справа положительной константе, то пришли бы к единственно возможному тривиальному решению.

1.5. Реализация начальных условий

Для отыскания в решении (8) неопределенных коэффициентов

и реализуем начальные условия. Так, реализуя в (8) начальное условие (4), получим

.

Подчеркнутые части в последней цепи выкладок представляют разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам на интервале. Коэффициентыэтого разложения – коэффициенты Фурье, которые определяются по формулам

. (9)

Реализуя в (8) начальное условие (5), получим

.

Аналогично предыдущему имеем разложение в ряд Фурье по синусам заданной функции на отрезке. Коэффициенты этого разложения. Откуда

. (10)

Таким образом, решение сформулированной краевой задачи имеет вид (8), где коэффициенты иопределяются по (9) и (10).

Из формулы (8) видно, что в моменты времени ,,струна возвращается в свое первоначальное состояние, т.к.

.

Это означает, что колебания струны незатухающие и периодически повторяющиеся, с периодом . Так происходит потому, что мы пренебрегаем силами трения. При их учете получились бы затухающие колебания.

1.6. Уравнение колебаний мембраны и его решение

Уравнение колебаний струны – одномерное по пространственной координате волновое уравнение. Изучим двумерное волновое уравнение

. (11)

К этому уравнению сводится задача о свободных колебаниях однородной мембраны – идеально гибкой и тонкой пленки, упругой лишь тогда, когда она натянута. Пусть в состоянии покоя мембрана занимает некоторую область D плоскости. Будучи выведена каким-то образом из этого состояния, начинает колебаться так, что все ее точки движутся перпендикулярно плоскости. Забудем обозначать отклонение точек мембраны от плоскости.зависит от пространственных координат точек мембраны,и от времени. Функцияявляется искомой функцией и при фиксированныхидает закон колебания точкимембраны в зависимости от времени. Частные производныеиопределяют соответственно скорость и ускорение движущейся точки. Если зафиксировать, то- поверхность представляющая форму колеблющейся мембраны в момент времени.

Рассмотрим решение уравнения (11) для мембраны, которая в состоянии покоя имеет форму прямоугольника, ограниченного прямыми линиями ,,,. Чтобы мембрана начала колебаться, нужно в начальный момент ее точкам придать либо начальные отклонения, либо начальные скорости, либо и то, и другое. Это значит, что задаются начальные условия

, , (12)

где и- функции, заданные в прямоугольнике. Кроме того, следует задать граничные условия, отражающие характер закрепления контура мембраны. Будем считать, что край мембраны закреплен неподвижно, т. е.

. (13)

Сформулированную краевую задачу (11) – (13) будем решать методом Фурье, задавая искомую функцию в виде произведения трех функций. Подставляя в таком виде ее в уравнение (11), будем иметь

,

разделяя переменные, получим . В последнем равенстве левая часть не зависит оти, правая часть не зависит отt, а тогда и левая и правая части, не завися ни от одной из переменных, а являются константами. Кроме того, поскольку отношениезависит только от, а отношение- только от, то суммаможет быть постоянной лишь при условии, что каждое слагаемое есть величина постоянная, т. е.,(обе постоянные взяты отрицательными, поскольку в противном случае приходим лишь к тривиальному решению). Для отыскания функций,иприходим к следующим обыкновенным однородным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами:

, (14)

, (15)

, (16)

причем уравнение (14) следует решать при граничных условиях , а уравнение (15) - при условиях, что следует из граничных условий 13).

Общее решение уравнения 14) имеет вид . Удовлетворяя его граничным условиям, получими- собственные числа, и- собственные функции. Аналогично, общее решение уравнения 15) имеет вид. Реализуя граничные условия, получаеми- собственные числа, и- собственные функции. Здесьи- любые целые положительные числа.

Теперь уравнение 16) примет вид . Это уравнение и его решениезависят как от значенийтак и от значений. Обозначим его решение. Оно будет

,

где - собственные частоты колебаний мембраны.

Частные решения краевой задачи имеют вид

.

Общее решение получим суммированием всех частных решений

.

17)

Реализуя в 17) начальные условия 12), получим

=, 18)

. 19)

Формулы 18), 19) представляют разложения функций двух переменных в двойные ряды Фурье. Формулы для отыскания коэффициентов идвойного ряда Фурье аналогичны формулам обычного ряда Фурье и имеют вид:

, 20)

. 21)

Таким образом, решение сформулированной краевой задачи 11) – 13) имеет вид 17), где коэффициенты иопределяются по формулам 20) и 21).