Применение метода анализа размерностей при решении гидравлических задач.

Метод анализа размерностей часто бывает очень эффективен при решении сложных задач механики, в частности, в гидравлике, гидродинамике и аэродинамике. Вместе с представлением о физическом смысле явлений или с привлечением опытных данных он приводит, и притом быстро и просто, к результатам, оценивающим данное явление.

В отечественной литературе методы подобия и размерности изложены в монографии например [Сена]; [Седова]; [Когана]. Признавая, что π-теорема имеет основополагающий характер, мы упоминаем и разъясняем её однажды; в дальнейшем по уровню и общности придерживаемся книги [Коган].

Основные определения.

Существует несколько систем единиц измерений (CGS, СИ и др.) и в каждой из них некоторые физические величины условно принимаются за основные или первичные, т.е. такие, для которых единицы устанавливаются произвольно и независимо. В механике, и в частности, в гидромеханике и гидравлике применяется система L, m, t, в которой за основные величины принимаются длина L, масса m и время t. Очевидно, что при анализе любого явления единицы измерения массы, времени и длины выбираются независимо друг от друга. Ко вторичным величинам относятся те, которые получаются как комбинации основных. Например, ко вторичным величинам относятся: скорость V=S/t или [V]=Lt ^-1, ускорение a=V/t или [a]=Lt^-2, плотность ρ=m/W или [ρ]=mL^-3 и многие другие величины. Квадратные скобки, в которые поставлено обозначение величины, означает, что речь идет о размерности единицы этой величины, а символы L,m,t представляют собой обобщенные обозначения единиц длины, массы и времени без указания конкретного наименования единиц.

В специальных курсах показывается, что формула размерности вторичных величин должна быть степенного вида относительно всех основных физических величин. Допустим, например, что число основных величин выбрано равным трем и за них приняты длина L, масса m и время t. Тогда размерность физической величины y представится формулой

[y]=L^αm^β t ^γ , ( .1 )

где α, β, γ– постоянные числа (напомним, что квадратные скобки, в которые поставлен символ величины y, означает, что рассматривается размерность этой величины). Формула ( .1) называется формулой размерности единицы данной величины или, как часто говорят, кратко- размерностью данной величины.

Необходимо подчеркнуть, что умножать и делить можно физические величины любой размерности, а складывать и вычитать возможно только величины одинаковой размерности.

Пример( .1) . Скорость V может быть выражена как V=L/t=L¹ m ⁰ t ^-1, т.е. α=1, β=0, γ=-1.Сила F=ma может быть представлена как F=mL/t²= L¹ m¹ t ^-2, т.е. α=1, β=1, γ= -2.

Не обязательно α, β, γ – рациональные числа, но вводить числа кроме рациональных нет необходимости. Часто размерность физической величины отождествляют с ее единицей в соответствующей системе единиц. Так, например, говорят, что скорость имеет размерность см/с (сантиметр в секунду). Хотя это и не логично, но грубой ошибки в этом нет. В данном случае см/с- это наименование единицы (точно так же, как км/ч, м/с и т.д.).Всегда, если есть необходимость, единицы такого типа позволяют перейти к формулам размерности, в которых масштабы единиц основных величин не фиксированы.

Замечание 1. Разные физические величины могут иметь одинаковые размерности даже в одной и той же системе единиц. Примерами могут служить в механике работа и кинетическая энергия или работа и момент силы (система Lmt).

Замечание 2. Безразмерными комбинациями физических величин называются такие комбинации, которые в рассматриваемой системе единиц имеют нулевую размерность. Их числовые значения не меняются при изменении масштабов единиц основных величин.

Задача 1. Найти размерности: 1) давления; 2) энергии; 3) коэффициента динамической вязкости; 4) коэффициента кинематической вязкости; 5) коэффициента поверхностного натяжения.

Все результаты, которые могут быть получены с помощью метода анализа размерностей, основаны на двух теоремах.