Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

.pdf

Скачиваний:

166

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

3.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 229 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить тип особой точки z 0 функции f z .

f z

z 1

, z 0

0 ;

2) f z

2 z i

, z 0 i ;

2 3iz

3 2iz 2 z

f z

e z 1

, z

0 ; 4) f z

π iz

1 .

ln 1 z 2 z 2

z 1

2. Применяя вычеты, вычислить контурные интегралы от функций комплексного переменного.

e iz 2

d z ;2) а)

z 4

d z

, б)

cos z

d z ;

z 3

8iz 2 16 z

z 1 z 2

z 3i

3) z 5 sh

d z ; 4) а)

z 3

d z , б)

z 2

d z .

z 2

1 1

3iz 4

2 z

5 i

3. Применяя вычеты, вычислить интегралы от вещественных функций.

d x

x 2

; 2) а)

, б)

d x

;

12 sin x

x 4

4 x 2

x 4

xsin xd x

xcos xd x

3) а)

б)

4 x 20

x 2 2 x 10

Ответы. 1. 1) Простой полюс; 2) Полюс второго порядка; 3) Полюс

третьего порядка; 4) Существенно особая

точка.

2. 1)

2 π ;

2) а)

б) 2 πi 1 sin 1 cos1 ; 3) π i

3 ;

4) а)

π , б)

0; 3. 1)

2 π

;

2) а)

4 π

б)

; 3) а)

e 4 2 cos 2 sin 2 , б) πe 3

cos1 sin1 .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 7

Операционное исчисление. Нахождение изображений

Изображение по Лапласу (далее изображение) – это интегральное преобразование, определенное несобственным интегралом

F p f t e pt d t

с комплексным параметром p σ iω . Интегральное преобразование определено на множестве функций-оригиналов f t (далее оригиналов),

обладающих свойствами:

1) функция f t определена при всех вещественных t и f t 0 при

t 0 ;
2) функции f t и		f t на любом конечном отрезке могут иметь
лишь конечное число точек разрыва, причем первого рода и кусочно –
			непрерывны;
3) существуют постоянные величины M и σ , при которых имеет
место неравенство
Величина σ 0 inf σ		f t	Me σ t при t 0 .					t .
		f t	Me σ t при t 0 .
	называется показателем роста функции f
Примеры функций-оригиналов.
				1, t 0,	поскольку	η t		e 0t и
1) Функция Хевисайда t				0, t 0,	поскольку	η t	1 1	e 0t и
				0, t 0,

M 1 , σ 0 0 . Функции f t и	f t на любом конечном отрезке имеют не
более одной точки разрыва.
2) Функция f t η t e λt , поскольку		f t	e t 1 e λt при t 0 и
2) Функция f t η t e λt , поскольку		f t	e t 1 e λt при t 0 и
M 1 , σ 0 λ . Функции f t и	f t на любом конечном отрезке имеют не

более одной точки разрыва.

Изображение F p , заданное несобственным интегралом, сходится

абсолютно и	равномерно в полуплоскости Re p σ 0 комплексного
переменного p	и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Это свойство позволяет неограниченное число раз дифференцировать интеграл по параметру p .

83
Соотношение между оригиналом			f t		и изображением F p
символически записывается так: f t F p .				Например, вычислениями
несобственных интегралов приходим к соответствиям:
η t	1	, Re p 0 ; η t e λ t	1		, Re p λ .
			p
	p			λ

Однако нахождение изображений исходя из определения изображения как несобственного интеграла в общем случае затруднительно. В операционном исчислении изображения, встречающиеся на практике, находят, применяя свойства преобразования Лапласа. Эти свойства сформулированы в так называемых основных теоремах операционного исчисления.

Основные теоремы об оригиналах и изображениях
При формулировках утверждений считаем, что всюду	f t –
оригинал с индексом роста σ 0 , а F p – ее изображение.
1. Теорема о единственности оригинала. Если функция	F p

является изображением двух оригиналов f t и g t , то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых совпадают. Если

оригиналы непрерывны во всех точках, то имеет место тождество

f t g t .

2. Линейность преобразования Лапласа. Если g t G p и

с индексом роста σ1 , то при произвольных числах α , β C верно

αf t β g t α F p β G p

сполуплоскостью сходимости Re p max σ 0 , σ1 изображения в правой

части этого соответствия.

3. Теорема подобия. Для любого числа a 0 верно

f at	1		p
		F		.

	a		a

4. Теорема о дифференцировании оригинала. Если f k t , k 1, n

оригиналы, то

f n t

p n F p

p n 1 f 0 p n 2 f 0 p n 3 f 0 ...

f n 1 0 ,

где

f k 0

f k t , k

lim

1, n

t 0

В частности при n 1 и n 2 имеем соответствия

f t pF p f 0 ,

f t p 2 F p pf 0 f 0 .

5. Теорема о дифференцировании изображения. При любом нату-

ральном n верно

1 n t n f t F n p .

Пример. Ранее получили соответствие η t

. Поскольку

n 1

n 2

p 1

1 p 2

2 p 3

... 1 n n! p

n 1 ,

то по теореме 1 n t n η t 1 n n! p n 1 или t n η t

p n

τ dτ

6. Теорема об интегрировании оригинала. Функция f

является

оригиналом и

τ dτ

F p

7. Теорема об интегрировании изображения. Если

является

оригиналом с индексом роста σ1 , то

f t

F w d w

где интегрирование производится по произвольной кривой из полуплоскости Re p σ1 , соединяющей p и .

8. Теорема смещения. При любом λ верно

e λt f t F p λ .

Примеры. Найти изображения для оригиналов.

1) Так как верно η t t n

, то по теореме η t t n e

α t

p n 1

p α n 1

η t sin α t

η t e iα t

p iα p

iα

p iα p iα

p 2 α 2

Аналогично устанавливаются соответствия

η t cos α t

, η t sh α t

, η t

ch α t

p 2 α 2

3) Применение теоремы к установленным соответствиям

позволяет получить соответствия

η t e at sin α t

η t e at cos α t

p a 2 α

p a

α 2

η t e at sh α t

η t e at ch α t

p a

p a 2 α

p a

α 2

9. Теорема запаздывания. При любом τ 0 верно

f t τ e τp F p .

	1
Пример. Найти изображение для оригинала η t		sh 2t 1 .
Пример. Найти изображение для оригинала η t		sh 2t 1 .
	2

Приведем функцию к единому «запаздыванию» аргумента t :

	1		1			1
η t		sh 2t 1 η t		sh 2	t		.
η t		sh 2t 1 η t		sh 2	t		.
	2		2			2

Получили, что «запаздывание» τ 12 . Поскольку

η t sh 2t						2	,

				p	2	4
				p	2	4
		1	p
			p		2
то искомым изображением будет e	2				2		.
	2
				p	2	4
				p	2	4

Сведем полученные соответствия между оригиналами и изображениями в таблицу изображений основных функций.

Зная, что всякий оригинал на множестве ; 0 принимает нулевое значение, множитель η t в оригиналах, как правило, будем опускать, сохраняя его только в случаях применения теоремы запаздывания.

№

f t

F p

№

f t

F p

sh αt

2 α 2

e λ t

ch α t

p λ

2 α 2

t n

e at sin α t

p n 1

p a 2 α

t n e λt

e at cos α t

p a

p λ n 1

p a 2 α

e at sh α t

sin α t

2 α 2

p a 2 α

e at ch α t

cos α t

2 α 2

p a 2 α

Примеры решения задач

1. Найти изображения для функций, с использованием таблицы изображений основных функции и свойства линейности преобразования Лапласа.

	f t 2 t 3 cos 2t ; 2)	f t 3e 3t	3
1)			3	sin 3 t ch 3 t ;
1)			3	sin 3 t ch 3 t ;
			3
3)	f t sh 3tcos 2t .

Решения. 1) С использованием соответствий таблицы имеем:

1	1	, t 3	3!	6	, cos 2t	p		p	.
1		, t 3	p 3 1		, cos 2t				.
	p		p 3 1	p 4		p 2 2 2	p	2 4

На основе линейности преобразования Лапласа получаем изображение:

		f t	1		6					p			2 p 3		p 2 4 6 p 2 4 pp 4
			2
			2	p		p 4			p 2 4								p 4 p 2 4
			2 p 5 8 p 3 6 p 2 24 p 5													p 5 8 p		3 6 p 2		24 .
						p 4		p 2 4									p 4	p 2 4
	2) Применяем таблицу:
		1																		p					p
e 3t			, sin					3							3		, ch									.
					3 t			3							3			3 t

		p 3					p 2					2		p 2		3			p 2			2	p	2	3
		p 3					p 2				3	2		p 2		3			p 2		3	2	p	2	3

С учетом линейности преобразования Лапласа получаем изображение:

f t 3	1	3	3			p	3	1			p

	p 3	3		p 2 3	p	2 3	p 3	p 2	3	p 2	3

3 p 2 3 p 2

3 p 3 p 2 3

p p 3 p 2 3

p 3 p 2

3 p 2

3 p 4 27 p 3

3 p 3 p 2

9 p 4 3 p

2 3 p 3 9 p

p 3 p 4

4 p 4 4 p 3 6 p 2 6 p 36

2 p 4 2 p 3 3 p 2 3 p 18 .

p 3 p 4 9

3) С учетом определения гиперболического синуса преобразуем выражение, определяющее данную функцию:

sh 3tcos 2t	e 3t	e 3t	cos 2t	1	e 3t cos 2t e 3t cos 2t .
		2		2

Теперь применяем соответствия таблицы:

3t cos 2t

p 3

2 2

p 2

6 p 9 4

p 2 6 p 13

3t cos 2t

p 3

2 2

p 2

6 p 9 4

p 2

6 p 13

С учетом линейности преобразования Лапласа запишем изображение и выполним его упрощение:

f t	1			p 3			p 3


	2	p	2	6 p 13	p	2	6 p 13
	2	p		6 p 13	p		6 p 13

1 p 3 p 2 13 6 p p 3 p

2 13 6 p

p 2 13 6 p p

2 13 6 p

1 p 2 13 p 3 p 3 6 p p 3 p 3

1 6 p 2 13 6 p 2 p

p 2 13 2 36 p 2

2 p 2 13 2 36 p 2

3 p 2 13 6 p 2

2 39

p 4 26 p 2 169 36 p 2

p 4 10 p 2

169

Ответы.

p 5 8 p

3 6 p 2 24

;

2 p 4 2 p 3 3 p 2

3 p 18

;

3 p 2

p 4

p 2 4

p 3 p 4 9

p 4 10

p 2 169

2. Найти

изображения

для функций,

использованием

таблицы

изображений основных функции и свойства линейности преобразования Лапласа и теоремы запаздывания.

		π
1) f t η t 5 6t 5 ; 2) 2)	f t η t		sin t ;

		4

3) f t η t 2 e t 3η t 3 sin πt .

Решения. 1) Преобразуем выражение, определяющее данную

функцию:

η t 5 6t 5 η t 5 6 t 5 5 5 η t 5 6 t 5 30 5

η t 5 6 t 5 25 .

Тогда «запаздывание» аргумента равно τ 5 . Поскольку

6t 25 6

то по теореме запаздывания

5 p

25 p 6

f t e

5 p

2) Преобразуем:

ηt

2 2

π
		sin		t	η t
		sin		t	η t
4
	π
	π			2
						sin t
						sin t

	4		2
					π
	η t						sin
	η t						sin
					4

	π							π		π
			sin		t
			sin		t
	4							4		4

		π			2						π
							cos t
							cos t
		4
		4			2						4
				π					π
t						cos t						.
t						cos t						.
				4					4

С использованием таблицы с учетом линейности преобразования Лапласа находим изображение:

sin t cos t		1	p	p 1	.
sin t cos t					.
	p	2 12	p 2 12	p 2 1

Применяем теорему запаздывания с «запаздыванием» аргумента, равного π4 :

				π	p	p 1
f t	2			π
	2
		e	4					.
	2	e				p 2	1	.
	2					p 2	1

3) Как и в предыдущих пунктах выполним тождественные преобразования выражения для заданной функции:

η t 2 e t η t 2 e t 2 2 e 2 η t 2 e t 2 ,

η t 3 sin πt η t 3 sin πt 3π η t 3 sin π t 3 .

Поскольку

e t

sin π t

p 2

π 2

то окончательно получаем:

f t e 2 e 2 p

3e 3 p

e 2

e 2 p

3 π

e 3 p

p 2 π 2

p 1

25 p 6

p 1

5 p

Ответы. 1) e

; 2)

;

p 2

3) e

2 e 2 p

3π

e 3 p

p 1

2 π

3. Найти изображение для функции, заданной графически (рис. 7.1).

y f t

2	t
Рис. 7.1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 229 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.20191.01 Mб22МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОНЦЕНТРАЦИЙ В АТМОСФЕРНОМ ВОЗ...docx
#
01.04.2025956.42 Кб5методич указания.doc
#
01.05.2025564.74 Кб5Методич_указ_к_сам._работам_2010.doc
#
16.11.2019202.75 Кб20МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КУРСОВОМУ ЭОИ.doc
#
01.04.20254.33 Mб6Методические указания к модулю 3.doc
#
29.03.20163.9 Mб166Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр.pdf
#
01.07.20251.87 Mб0МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по КП.doc
#
01.07.2025688.13 Кб2Методичка по РАСЧЕТУ СИСТЕМ КОНДИЦИОНИРОВАНИЯ.doc
#
10.06.2015936.96 Кб92методичка (с контрольными).doc
#
25.11.201894.21 Кб13методичка 4 курс незаконч.2.doc
#
16.11.20193.22 Mб43Методичка Банкротство.doc