Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

.pdf

Скачиваний:

167

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

3.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

201

Решение. Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле (16.1`):

x 2( 1) 3 1 10 2 4 3 1 5 1, 9 . 20

Вычислим начальные моменты второго и третьего порядков по

формуле (16.5`). Берем k 2									и k 3 соответственно:
				2( 1) 2 3 12 10 2 2 4 32 1 5 2												2 3 40 36 25		5, 3 ;
		x 2		2( 1) 2 3 12 10 2 2 4 32 1 5 2												2 3 40 36 25
		x 2
20																	20
			2 ( 1)3 3 13 1 0 2 3 4 33 1 53											2 3 80 1 08 12 5					1 5, 7 .
	x 3		2 ( 1)3 3 13 1 0 2 3 4 33 1 53											2 3 80 1 08 12 5
	x 3
20																	2 0
		Теперь вычислим центральный момент первого порядка по формуле
(16.6`), в формуле надо взять k 1 :
																k
					1	k				1	k				ni xi
			1		1	ni ( xi	x	)1		1	ni ( xi	x	)		i 1		x x x 0 ,
			1			ni ( xi	x	)1			ni ( xi	x	)				x x x 0 ,
					n i 1					n l 1						n

таким образом, центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

Центральный момент второго порядка это неисправленная выборочная дисперсия, ее удобнее вычислить по формуле (16.3):

2 D x 2 x 2 5, 3 (1, 9) 2 5, 3 3, 61 1, 69 .

Следует обратить внимание на то, что выборочная дисперсия не может быть отрицательным числом.

Осталось вычислить неисправленную выборочную дисперсию S 2 , для этого используем формулу (16.4):

S 2

1, 69 1, 78 .

20 1

Таким образом, выборочное среднее

x 1, 9 ;

начальный

момент

второго порядка 2 x 2

5, 3 ;

начальный

момент

третьего

порядка

x 3 15, 7 ; центральный момент первого

порядка 1 0 ; центральный

202

момент второго порядка 2 1, 69 и несмещенная выборочная дисперсия

S 2 1, 78 .

2. Найти выборочное среднее по данному распределению выборки объема n 100 :

xi	2702	2804	2903	3028
ni	8	30	60	2

Решение. Для того чтобы упростить вычисления, перейдем к условным вариантам

ui xi 2 8 4 4 .

Получим следующее распределение:

u i	–142	–40	59	184
ni	8	30	60	2

Вычислим выборочное среднее условной величины по формуле (16.1`):

u 8( 142) 30( 40) 60 59 2 184 100

1136 1200 3540 368 15, 72. 100

Так как u x 2844 , то u x 2844 , следовательно

x u 2844 15, 72 2844 2859, 72 .

Отметим, что D (u ) D ( x 2 8 4 4 ) D ( x ) . Т.е. при переходе к условным вариантам путем сдвига на некоторую константу, выборочная дисперсия не меняется.

3. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n 10 :

xi	0,01	0,04	0,08
ni	5	3	2

203

Решение. Перейдем к условным вариантам

ui 1 0 0 xi .

Получим следующее распределение:

u i	1	4	8
ni	5	3	2

Вычислим сначала выборочное среднее u и u 2 :

u 5 12 16 3, 3 , 10

	5 3 16 2 64
u 2	5 3 16 2 64	18,1 .
u 2	10	18,1 .
	10

Выборочная дисперсия условной величины равна

										2
		(u )		u 2							18,1 (3, 3) 2			7, 21 .
	D	(u )		u 2				u			18,1 (3, 3) 2			7, 21 .

Так как u 100 x , то			u 1 0 0 x .									Итак, выборочное среднее исходной
варианты

							u					3, 3	0, 0 3 3 .
					x		u					3, 3
					x
						1 0			0		1 0 0

Аналогично, используя свойства дисперсии, получаем

D (u ) 1 0 0 2 D ( x ) .

Следовательно,

		( x )	D (u )		7, 21	0, 000721 .
	D

100 2				10000
4. По выборке объема n 41					найдена смещенная оценка дисперсии

D 3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

Y yx x b .

204

Решение. Искомая несмещенная оценка это исправленная дисперсия, которую можно вычислить по формуле (16.4)

S 2	n		41	3 3, 075 .
		D
	n 1		40

5. В итоге пяти измерений			длины стержня одним прибором

(без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм):

92; 94; 103; 105; 106.

Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Решение. а) Найдем выборочную среднюю длину стержня по формуле (16.1)

x 92 94 103 105 106 100 .

							5
б) Найдем выборочную дисперсию по формуле (16.2)
						1	5						2
			D			1	xi					x
			D				xi					x
						n i 1
9 2 1 0 0 2 9 4 1 0 0 2 1 0 3 1 0 0 2 1 0 5 1 0 0 2 1 0 6 1 0 0 2
							5										3 4
							5
Теперь найдем исправленную дисперсию:
		S 2			n					5	34 42, 5 .
					n			D		5
					1			D
				n	1		4
6. Затраты X		на развитие производства и												Y	величина годовой
прибыли фирмы в течение 5 лет (в у. е.) представлены в таблице

	X	6			3				7					5		10
	Y	33			27				32					28		42

На величину прибыли влияют случайные факторы

Оценить параметры yx и b . Оценить годовую прибыль в том случае, если на развитие производства будет затрачено 12 у.е.

205

Решение. Вычислим неизвестные параметры по формулам (16.9)

и (16.10):

xi yi	6 3 3 3 2 7 7 32 5 28 10 4 2 1 06 3 ,
i 1

5	5		5
xi	3 1, yi 1 62, xi2 36 9 4 9 2 5 10 0 21 9 ,
i 1		i 1	i 1
yx		5 1063 31 162			5315 5022		293		2,186 ,
yx									2,186 ,
		5 219 312			1095 961	134
b	219 162 31 1063			35478 32953				2525		18, 843 .
b	5 219 312									18, 843 .
	5 219 312		134			134
Итак, выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет
вид:
		Y 2,1 8 6 x 1 8, 8 4 3 .
Для того, чтобы решить вторую часть задачи, надо вычислить
значение Y при x 12
	Y \|x 12 2,186 12		18, 843 45, 072 45 (у.е.).
Ответ. Уравнение линии регрессии Y на X								имеет вид:
Y 2,1 8 6 x 1 8, 8 4 3 .

Задачи для самостоятельного решения

1. Данные выборки			приведены		в	таблице.		Найти выборочное
среднее, выборочные дисперсии.
а)
	xi	–4		–2	0		3	4
	ni	3		7	2		6	2
б)
	xi	–6		–3	1		2	4
	ni	3		1	4		5	2

206

в)

	xi	–1	0	1	3	5
	ni	4	2	2	5	2
2. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:
а)
	xi	2560	2600	2620	2650	2700
	ni	2	3	10	4	1

б)

	xi	0,03	0,05	0,06		0,07
	ni	20	50	18		12

3. Найти выборочную дисперсию					D по	данному распределению
выборки:
а)
	xi	340	360	375		380
	ni	20	50	18		12
б)
	xi	0,1	0,5	0,6		0,8
	ni	5	15	20		10
в)
	xi	18,4	18,9	19,3		19,6
	ni	5	10	20		15

4. Найти исправленную выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение по данному распределению выборки:

а)

	xi	0,1		0,5	0,7	0,9
	ni	6		12	1	1
б)
	xi	23,5		26,1	28,2	30,4
	ni	2		3	4	1
5. Найти несмещенные			оценки		математического ожидания и

дисперсии по данным выборки:

		207
а)

	№	Интервал	ni
	1	–5–0	25
	2	0–5	5
	3	5–10	15
	4	10–15	5
	5	15–20	20

б)
б)	№	Интервал	Середины	ni
			Середины
			интервалов
			интервалов
	1	5,05–5,15	5,1	5
	2	5,15–5,25	5,2	8
	3	5,25–5,35	5,3	12
	4	5,35–5,45	5,4	20
	5	5,45–5,55	5,5	26
	6	5,55–5,65	5,6	15
	7	5,65–5,75	5,7	10
	8	5,75–5,85	5,8	4

6.По выборке объема n 51 найдена смещенная оценка D 5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

7.При измерении веса 20 шоколадных батончиков (с номинальным весом 50 г) получены следующие значения в граммах:

49,1; 50; 49,7; 50,5; 48,1; 50,3; 49,7; 51,6; 49,8; 50,1; 49,7; 48,8; 51,4; 49,1; 49,6; 50,9; 48,5; 52; 50,7; 50,6.

Найти выборочное среднее, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, выборочную медиану, крайние члены вариационного ряда.

8. По данным выборки составить статистическое распределение. Построить гистограмму частот, график накопленных частот. Вычислить несмещенные точечные оценки параметров генеральной совокупности.

2,8; 1,3; 3,1; 4; 1; 2,3; 5,1; 4,8; 4; 2,4; 3,2; 4; 6,1; 8; 10,5; 11; 3,1; 4,5; 9; 12; 15; 2,1; 3,2; 2,8; 9,6; 9,5; 3,6; 14; 15; 14; 2,9; 9,1; 9,8; 4,7; 7,1; 6,2; 8,1; 8,2; 8,6; 13; 10,3; 11; 7,5; 4,7; 10,8; 11,6; 5,9; 6,9; 3,1; 10.

										208
		9. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y													на X и X
на Y по данным, приведенным в следующих корреляционных таблицах:
		а)
											X
		Y	5		10		15		20		25	30	35	40		n y
			5		10		15		20		25	30	35	40		n y

		100	2		1			–	–		–	–	–	–		3
		120	3		4		3		–		–	–	–	–		10
		140		–		–	5		10		8	–	–	–		23
		160		–		–		–	–		–	6	1	1		9
		180		–		–		–	–		–	–	4	1		5
		n x	5		5		8		11		8	6	5	2		n 50
		б)
											X
		Y		18		23		28		33		38	43	48		n y
				18		23		28		33		38	43	48		n y

	125			–		1		–		–		–	–	–		1
	150			1		2		5		–		–	–	–		8
	175			–		3		2		12		–	–	–		17
	200			–		–		1		8		7	–	–		16
	225			–		–		–		–		3	3	–		6
	250			–		–		–		–		–	1	1		2
		n x		1		6		8		20		10	4	1		n 50

10. В таблице представлены средние цены на растительное масло, сахар-песок, говядину и белый хлеб высшего сорта (в руб.) в 12 городах центрального района России на июнь 1996 г.

Город			Цена
Город	На масло	На сахар		На говядину	На хлеб
	На масло	На сахар		На говядину	На хлеб
Брянск	7726	3410		12500	4875
Владимир	7880	3183		13857	7125
Иваново	6182	3209		14150	4998
Калуга	8237	3400		12697	5170
Кострома	8750	3600		13000	5476
Москва	11024	4418		14120	6466
Орел	8456	3634		10678	4200
Рязань	9172	4033		12163	4720
Смоленск	8320	3909		12833	4354
Тверь	7083	3416		14400	5440
Тула	8259	3486		12083	5140
Ярославль	7991	3938		14397	5283

209

Вычислить выборочные коэффициенты корреляции между ценами: а) на масло и говядину; б) на масло и хлеб; в) на сахар и говядину; г) на сахар и хлеб; д) на говядину и хлеб.

11. Распределение 50 гастрономических магазинов по уровню издержек обращения X (%) и годовому товарообороту Y (млн руб.) представлено в таблице:

	X				Y
	X	0,5–2	2–3,5	3,5–5		5–6,5	6,5–8	Итого
		0,5–2	2–3,5	3,5–5		5–6,5	6,5–8	Итого
4	– 6	–	–	–		3	2	5
6	– 8	–	4	8		8	1	21
8 – 10		2	5	5		2	–	14
10	– 12	3	1	3		–	–	9
12	– 14	1	–	–		–	–	1
Итого		6	10	18		13	3	n 50

Построить уравнение линейной регрессии Y на X и оценить тесноту связи между переменными с помощью коэффициента корреляции ryx .

12. Годовые прибыли фирмы (в тыс. долларов) за пять лет представлены в следующей таблице:

Год	1	2	3	4	5
Прибыль	99	112	120	135	144

Провести линейную регрессию и дать прогноз на следующий год.

Ответы.

1) а)

x 0; D 8,1;

S 2 8, 5 3 ; б)

x 0, 067;

D 1 1, 5 3; S 2

1 2, 3 5 ;

в) x 1, 53 ;

D 4 , 3 8; S 2 4 , 6 9 ; 2) а) 2621; б) 0,0502; 3) а) 167,29; б) 0,0344;

в) 0,1336; 4) а)

S 2 0, 0525 ; s 0 , 2 2 9 ; б) S 2

4, 8 9; s 2, 2 1 1 ; 5) а)

x 6, 7;

S 2 6 8, 3 3 ;

S 2 0, 0 2 9 7 ;

S 2 1;

б)

x 5, 459 ;

6) 5,1;

x 50;

D 0, 9 5;

0, 97; s 1; xm ed 50,1;

xm in 48,1;

xm ax 52 ;

8) [1,15]; k 7;

h 2;

x 7, 08; S 2 1 5, 3 8 .

210

№	интервал	ni	ni	wi	c	w c	xi
№	интервал	ni	h	wi	w i	i	xi
			h			h
1	[1, 3)	8	4	0,16	0,16	0,08	2

2	[3, 5)	13	6,5	0,26	0,42	0,21	4
3	[5, 7 )	5	2,5	0,1	0,52	0,26	6

4	[7, 9)	6	3	0,12	0,64	0,32	8

5	[9,11)	9	4,5	0,18	0,82	0,41	10
6	[11,13)	4	2	0,08	0,9	0,45	12

7	[13,15)	5	2,5	0,1	1	0,5	14

9) а) y x

1, 92 x 100, 9; x y 0, 42 y 38, 3 ; б)

y x 3, 69 x 66; x y 0,19 y 3,1 ;

10) а) r 0,1 8 , зависимости нет; б)

r 0, 2 4 , зависимость есть; в) r 0, 0 1 ,

зависимости

нет; г)

зависимости

нет;

д)

r 0, 6 1 , зависимость есть;

11) y x 8, 4 6 5

0, 5 2 5 x ,

ryx 0, 619 ; 12)

y x 8 8,1 1 1, 3 x;

y (6) 155, 9 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.20191.01 Mб22МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОНЦЕНТРАЦИЙ В АТМОСФЕРНОМ ВОЗ...docx
#
01.04.2025956.42 Кб5методич указания.doc
#
01.05.2025564.74 Кб6Методич_указ_к_сам._работам_2010.doc
#
16.11.2019202.75 Кб21МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КУРСОВОМУ ЭОИ.doc
#
01.04.20254.33 Mб9Методические указания к модулю 3.doc
#
29.03.20163.9 Mб167Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр.pdf
#
01.07.20251.87 Mб4МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по КП.doc
#
01.07.2025688.13 Кб9Методичка по РАСЧЕТУ СИСТЕМ КОНДИЦИОНИРОВАНИЯ.doc
#
10.06.2015936.96 Кб94методичка (с контрольными).doc
#
25.11.201894.21 Кб14методичка 4 курс незаконч.2.doc
#
16.11.20193.22 Mб50Методичка Банкротство.doc