Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО МАТЕМАТИКЕ
4 СЕМЕСТР
Казань 2012
2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ф.Х. АРСЛАНОВ, Т.А. ГРИГОРЯН, Е.В. ЛИПАЧЕВА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО МАТЕМАТИКЕ
4 СЕМЕСТР
Казань 2012
3
УДК 517.1 ББК 22.1
А 85
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор Казанского государственного энергетического университета Ф.Н. Гарифьянов; кандидат физико-математических наук, доцент Казанского государственного энергетического университета В.В. Андреев
А85 Арсланов Ф.Х., Григорян Т.А., Липачева Е.В.
Практические занятия по математике. 4 семестр /
Ф.Х. Арсланов, Т.А. Григорян, Е.В. Липачева. – Казань: Казан. гос. энерг. ун-т, 2012. – 215 с.
Методическое пособие включает практические занятия, проводимые преподавателями по математике со студентами четвертого семестра. Каждое занятие содержит необходимый теоретический материал, разобранные примеры решения задач, а также набор задач для самостоятельного решения студентами в аудитории или дома. Среди задач имеются как простые, типовые, так и задачи
повышенного уровня сложности.
Предназначено для студентов второго курса, обучающихся по направле-
ниям 140100, 140400, 141100, 150100, 200100, 210100, 220400, 223200, 230100, 280700, и преподавателей. Может использоваться при проведении занятий.
УДК 517.1 ББК 22.1
© Казанский государственный энергетический университет, 2012
4
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1
Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Формы представления комплексных чисел
Произвольное комплексное число имеет вид z a ib , где a и b – действительные числа, буква «i» обозначает мнимую единицу и ее
определением является равенство i 2 1 . |
a ib | |
a , b |
– множество |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
комплексных чисел. |
Используют обозначения: a Re z , |
b Im z . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
|
|
b 0 , |
|
то |
z a |
|
– действительное число; |
|
если |
a 0 , |
b 0 , |
то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z ib и оно называется чисто мнимым комплексным числом. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Два комплексных числа z1 и z 2 |
равны ( z1 z 2 ) тогда и только тогда, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
когда Re z1 Re z 2 |
|
и Im z1 |
Im z 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
z a ib |
|
|
– |
|
|
|
алгебраическая |
форма |
представления |
комплексного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числа z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a ib |
|
– число, сопряженное для комплексного числа z a ib . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим арифметические действия над комплексными числами, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
представленными |
|
|
|
|
|
|
в |
алгебраической |
|
|
форме. |
|
Пусть |
z1 a1 ib1 |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 2 a 2 ib2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Сложение комплексных чисел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 z 2 a1 ib1 a 2 ib2 a1 a 2 i b1 b2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычитание комплексных чисел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
z1 z 2 a1 ib1 a 2 ib2 a1 b1 a 2 ib2 a1 a 2 i b1 b2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Умножение комплексных чисел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z z |
2 |
|
a |
|
|
|
|
ib a |
2 |
ib |
2 |
|
a a |
2 |
ia |
1 |
b |
2 |
ia |
2 |
b i 2 b b |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1a 2 b1b2 i a1b2 a 2 b1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Деление комплексных чисел, как правило, выполняется с учетом |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
преобразований z |
|
|
|
|
|
|
a |
|
ib |
|
a |
|
ib |
|
a 2 |
ia |
|
b |
|
|
i 2 b |
2 |
a |
2 |
b 2 : |
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
z |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
z1 |
|
z1 |
|
|
2 |
a1 ib1 a 2 ib 2 |
|
a1a 2 b1b2 i a1b2 a 2 b1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
b 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
b 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
z 2 |
|
z 2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
|
|
|
|
|
a1a 2 b1b2 |
i |
a 2 b1 a1b2 |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 22 b22 |
|
|
|
a 22 b22 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Величина |
|
z |
|
|
|
a 2 b 2 |
называется модулем |
|
комплексного числа |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z a ib |
и равна |
длине |
радиус-вектора |
(рис. 1.1). Тригономет- |
|||||||||||||||||||
O A |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рический угол φ |
(рис. 1.1) между действительной осью и вектором O A |
||||||||||||||||||||||
называется аргументом комплексного числа |
z . Аргумент комплексного |
||||||||||||||||||||||
числа определен |
|
неоднозначно: |
если |
φ 0 |
есть |
некоторое |
значение |
||||||||||||||||
аргумента, |
то |
φ 0 2 πk |
при |
любом |
k |
\ 0 |
также |
есть |
значение |
||||||||||||||
аргумента. |
Переход от значения φ |
0 |
к значению |
φ |
0 |
2 π |
происходит в |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
результате полного оборота вектора |
O A . Поэтому принято значение φ 0 , |
π φ 0 π , называть главным значением аргумента комплексного числа z . Обозначается аргумент символом Arg z , а его главное значение – символом arg z . Отсюда
Arg z arg z 2 πk , k 0, 1, 2, ... .
y
b
а |
О |
x |
Рис. 1.1
Приведем формулы для вычисления главного значения φ arg z комплексного числа z a ib
|
|
|
b |
|
|
a 0, b 0 или b 0, |
|
|
|||
|
arctg |
|
, если |
|
|
||||||
|
a |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
arg z |
|
π arctg |
|
, если a 0, b 0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
a |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||
|
|
π arctg |
, если |
a 0, b 0 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В частности, arg z 0 , |
|
если |
|
a 0 , |
|
|
b 0 ; |
arg z π , если |
a 0 , |
b 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
arg z |
π |
, если a 0 , b 0 ; arg z |
π |
, если a 0 , |
b 0 . |
||||||||
|
|
||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
Для комплексного числа z 0 аргумент не определен. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если z a ib , то a |
z |
cosarg z |
и b |
z |
sinarg |
z . Отсюда |
|||||||
|
|
z |
|
z |
|
cosarg |
z isinarg z . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Такое представление числа z называется тригонометрической записью комплексного числа.
С применением формулы Эйлера
e ir cos r isin r ,
где r – любое действительное число, из тригонометрического представления комплексного числа получается показательная форма представления:
z z e iarg z .
Приведем правила умножения и деления комплексных чисел, представленных в тригонометрической и показательной формах:
z1 z 2 z1 z 2 cos arg z1 arg z 2 isin arg z1 arg z 2 ,
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
cos arg z |
1 |
arg z |
2 |
isin arg z |
1 |
arg z |
2 |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
1 |
z |
2 |
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
e |
i arg z |
1 |
arg z |
2 |
|
, |
|
z1 |
|
|
|
z1 |
|
|
|
e |
i arg z |
1 |
arg z |
2 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для возведения комплексного числа, записанного в алгебраической форме, во вторую или третью степень, обычно применяют формулы сокращенного умножения. Для возведения комплексного числа в натуральную степень выше третьей применяют формулу Муавра:
z n z n cos n arg z isin n arg z .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Значениями корня n -й степени из комплексного числа |
z , который |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
обозначают n z , |
являются n различных чисел |
w k , k 0, n 1 , |
такие, что |
||||||||||||||
w n |
z и все эти значения вычисляются по формуле |
|
|
|
|
||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wk n |
|
|
|
|
|
arg z 2 πk |
|
arg z 2 πk |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
isin |
, k 0, n 1 . |
|
||||||||||
|
|
|
z |
|
cos |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач
1. Вычислить арифметическое выражение:
1) |
2 17 i |
|
2 i |
; 2) |
1 i |
3 |
|
1 i |
3 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
3 |
i |
1 i 5 |
1 i 5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
Решение. 1) Каждую из дробей представим в алгебраической форме:
2 17 i |
|
2 |
|
17 |
|
i , |
|
2 i |
|
|
2 i 3 i |
|
6 2i 3i i |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 i 3 i |
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
3 |
3 |
|
3 i |
9 |
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 i 1 |
|
7 i |
|
7 |
|
1 |
i . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
10 |
10 |
|
10 |
|
|
|
|
Теперь вычтем значения дробей:
2 |
|
17 |
|
7 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
17 |
|
|
7 |
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
3 |
|
10 |
|
|
10 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
10 |
|
|
10 |
|
||||||||||
|
|
|
|
20 21 |
|
|
170 3 |
i |
|
1 |
|
173 |
i . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
30 |
|
30 |
|
|
|
|
2) Вычислим степени мнимой единицы:
i 3 i 2 i 1 i i , i 5 i 3 i 2 i 1 i .
Применим формулу сокращенного умножения («куба суммы двух чисел»):
1 i 3 13 3 12 i 3 1i 2 i 3 1 3i 3 i 2 2i .
Теперь арифметическое выражение примет вид:
|
8 |
|
|
1 i |
|
2 1 i |
. |
|
|
||
1 i |
|
1 i |
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия в числителе и знаменателе полученной дроби:
1 i 2 2 1 i 2 |
|
1 2i 1 2 1 2i 1 |
|
2i 4i |
i . |
||||||
1 i 1 i |
|
|
1 |
1 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы. 1) |
1 |
|
173 |
|
i ; 2) i . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3030
2.Комплексное число z представить в тригонометрической и показательной формах, если
1) z i ; 2) |
z |
2 ; 3) |
z sin |
|
|
π |
icos |
π |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
||||
Решение. |
1) |
Поскольку |
|
z |
|
1 , |
arg z |
π |
, то тригонометрической |
||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
формой записи будет |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z cos π isin π ,
22
апоказательной формой выражение
πi
|
z e 2 . |
2) Так как z 2 |
и arg z π , то имеем соответственно |
тригонометрическую и показательную формы:
z2 cos π isin π , z 2e πi .
3)Применим правило приведения тригонометрических функций к острому углу:
π |
|
π |
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
π |
|
π |
. |
||
z cos |
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
cos |
|
isin |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
3 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку π 6 является аргументом, то z e 6 |
– показательная форма. |
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
z 2 cos π isin π , |
z 2e πi ; |
|||
Ответы. 1) z cos |
|
isin |
, z e 2 ; 2) |
||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
π |
i |
|
|
|
|
|
|
|||
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) z cos |
isin |
, z e 6 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
66
3.Для комплексных чисел z1 13 i3 , z 2 3 2 i2 а) получить
их тригонометрические формы и, используя эти формы, выполнить
действия: б) |
|
|
z1 z 2 , в) |
|
z1 |
z 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. а) Для первого числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
, arg z arctg |
|
arctg1 |
|
π |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а для второго |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
1 1 , arg z 2 |
π arctg |
π arctg |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 2 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
5 π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомыми представлениями будут
|
|
2 |
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
5 π |
|
|
5 π |
||||
z1 |
|
|
cos |
|
|
|
isin |
|
|
|
, |
z 2 |
cos |
|
|
|
isin |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
б) Используем формулу для вычисления произведения комплексных чисел в тригонометрической форме записи:
|
|
2 |
|
|
|
π |
|
5 π |
|
|
π |
|
5 π |
|
2 |
|
|
13 π |
|
|
13 π |
|||||
z1 z 2 |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
isin |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
6 |
|
|
4 |
|
6 |
|
3 |
|
|
12 |
|
|
12 |
Преобразуем произведение z1 z 2 в алгебраическую форму. С применением тригонометрических формул имеем:
cos
13 π |
|
|
|
|
cos π |
|
||
12 |
|
π |
|
|
π |
π |
|
π |
|
|
||
|
|
cos |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12 |
|
12 |
|
3 |
|
4 |
|
|
10
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
π |
|
π |
|
π |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|||||||||||
cos |
|
cos |
|
sin |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
3 |
|
4 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|||||||||||||||||||
sin |
|
|
|
sin |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
cos |
|
|
cos |
|
|
|
sin |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z1 z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Используем формулу для вычисления частного комплексных чисел в тригонометрической форме записи:
|
|
|
z |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
5 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
7 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 π |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z 2 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Применяем тригонометрические формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
7 π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Получим алгебраическую форму частного: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Ответы. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|