Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

непрерывна на

простом контуре

и

аналитическая внутри ,

за

исключением только находящихся внутри

особых точек z1 , z 2 , ...,

z n .

Тогда

f z d z 2 π i

n

f z .

res

k 1 z k

Теорема.

Если функция f z

имеет в расширенной комплексной

n

f z res

f z 0 .

res

k 1 z k

f z d z 2 π i res

f z ,

Γ

π

I

R cos x, sin x dx ,

π

от функций комплексного переменного по окружности

z

1 с помощью

замены z e ix и следующих из нее равенств

1

1

, cos x

1

1

, d x i

d z

.

sin x

z

z

z

2i

z

2

z

представить,

как R1 z d z

и с применением основной теоремы Коши о

вычетах будем иметь формулу

n

I

R1 z d z 2 π i res R1 z ,

z

1

k 1 z k

где z1 ,..., z n

все особые точки функции

R1 z , находящиеся внутри круга

где

R x

Pm x

–

отношение

двух

многочленов,

Q n x

не

имеет

Q n x

действительных корней и n m 2 . Справедлива формула

l

R x dx

2 πi res R z ,

k 1 z k

где z1 , ..., zl

– все полюсы R z из полуплоскости Im z 0 .

3) Интегралы вида

R x cos α xdx ,

R

x sin α xdx ,

где

R x

Pm x

–

отношение

двух

многочленов,

Q n x

не

имеет

Q n x

действительных корней и n m 1 , α 0 . Справедливы формулы:

l

l

R x cos α xdx 2 πIm

res e iα z R z ,

R x sin α xdx 2 πRe res e iα z R z ,

k 1 z k

k 1 z k

где z

1

, ..., z

l

– все полюсы e iα z R z

из полуплоскости Im z 0 .

1)

f z

z 1

, z 0 2i ; 2) f z

z i

, z 0 i ; 3)

2 2iz

z 3 2iz

2

z

z

f z

sin z

,

z 0 π ; 4)

f z cos

1

, z 0

1 .

z π 2

1

cos z

z 1

2

Решения. 1) Преобразуем выражение, определяющее функцию:

z 1

z 1

z 1

z

.

z

2i

z 2 2iz z

z

2i

Поскольку

z 1

2i 1

1

1

i 0 , то в силу следствия из теоремы

z

z 2 i

2i

2

z i

z i

i i

f z

z

,

2 0 .

z i 2

z

z i

i

sin z sin z π z π

1

z

π 3

1

z π 5

... ,

3!

5!

1

z π 2

cos z 1

z π 2

z π

1

z π 2

1

z π 2

cos

2

2

2

2

z π 4

z π 6

z π 8

z π 4

z π 6

z π 8

... .

...

4 !

6 !

8 !

4 !

6 !

8 !

z π

1

z π 3

1

z π ...

sin z

3!

5!

1

z π 2

z π 4

z π 6

z π 8

cos z

...

2

4 !

6 !

8!

1

z π 2

1

z π 5

z π 1

...

3!

5!

φ z

,

1

z π

2

z π

4

z π

3

z π 4

...

4 !

6 !

8!

1

1

z π 2

1

z π 5

...

где φ z

3!

5!

.

1

z π 2

z π

4

...

4 !

6 !

8!

Поскольку f z

φ

z

в окрестности точки z 0 π

и φ π 4 ! 0 ,

z π 3

1

1

1

1

1

1

1

1 k

1

... ,

cos

1

... 2 k !

z 1

2 ! z 1 2

4! z 1 4

6!

z 1 6

z 1 2 k

Главная часть полученного разложения содержит бесконечно много

членов, следовательно, по теореме точка

z 0 1

есть существенно особая

точка функции f z cos

1

.

z

1

76

2) Особые точки i

и 1 подынтегральной функции

f

z

ze iz

z i z 1 2

расположены внутри

контура интегрирования; функция

f z

ze iz

d z 2 π i res

f z res

f z .

z i

z 1 2

z

2

i

1

Вычислим вычеты.

Поскольку

ze iz

f z

z 1 2

ze iz

e

1

и

0 ,

z i

z 1 2

2

z i

ze iz

res f z

z 1 2

ze iz

e 1

.

z 1

2

2

i

z i

z i

Поскольку

z i

ze iz

и

ze iz

e i

f z

z i

0 ,

z 1 2

z i

z 1

1 i

то точка 1 – полюс второго порядка.