Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

3.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

полученного ряда будет вся комплексная плоскость, z .

f z

1 n

2 n 1

Ответы. 1)

2 ;

4 n 1

n 0

f z ln 6

1 n 1 3 n

2 n

2 ;

n 6 n

z n ,

n 0

1 n

z 2 n 1 ,

f z

n 0 n !2 n 2 n 1

4. Данные функции разложить в степенной ряд по степеням z z 0 , найти круги сходимости рядов.

1) f z	1	, z 0	1 ; 2)	f z		1	, z 0	i . 3)	f z sin z ,

	z 3				z 2	2 z 2

z 0	π	.
z 0		.
4
	Решение. 1) Требуется данную функцию разложить в ряд Тейлора по
степеням				z 1 . Применим										метод							подстановки						с использованием
разложения				7.2			функции						1					.		Поэтому				выполним						следующие

													1
													1			z
преобразования.
				1							1								1			1					1	.

						z 3			z 1 2											z 1			2		1		z 1
															2 1
																											2

																					2
								1								z 1
В ряде для функции								1			, считая					z 1				1 , в место z						запишем				z 1		:
В ряде для функции							1			z	, считая						2			1 , в место z						запишем				2		:
							1			z							2													2
f z			1	1						1		z 1					k				1	z 1			k				1		z 1		k
			1	1						1		z 1									1	z 1							1				k	.

					z 1
			2 1		z 1					2 k 0			2								2 k 0	2 k					k 0 2 k 1
			2 1							2 k 0											2 k 0	2 k					k 0 2 k 1
				2

Круг сходимости найденного ряда получим также подстановкой:

z	1,	z 1	1,	z 1	1,	z 1	2	– круг сходимости, R 2 – радиус



		2		2

сходимости.

Отметим, что точка z 3 является особой точкой данной функции, а

расстояние

z0 3

1 3

2 равно радиусу сходимости.

2) Знаменатель данной функции разложим на линейные множители.

z 2 2 z 2

0 , D 4 8 4 . Числа 2i – значения комплексного корня

4 . Тогда корнями квадратного уравнения будут

2 2i

1 i, z 2

2 2i

1 i .

Искомое разложение: z 2 2 z 2 z 1 i z 1 i .

Теперь преобразуем выражение, определяющее данную функцию, в сумму простейших дробей.

f z	1 z 1 i z 1 i		1	1		1
		z 1 i z 1 i					.

	2i		2i z 1		i	z 1 i

Каждую из простейших дробей с использованием стандартных разложений 7.1 и 7.2 разложим в степенные ряды по степеням z i .

	1			1
	1			1					1 n z i n ,			z i		1 .

	z 1 i			z i
	z 1 i	1		z i				n 0
								n 0
1	1					1				1	1		1 n		z i n
																,
z 1 i	1 2i z i				1 2i					z i	1 2i				1 2i n	,
									1			n 0
									1	1 2i		n 0
										1 2i
			z	i

							1	или		z i	5 .
			1 2i				1	или		z i	5 .
			1 2i

С применением полученных разложений имеем окончательный результат:

f z

1 n z i n

1 n

z i n

1 2i n

n 0

1 1 2i n 1 z i

1 n

n ,

z i

1 .

n 0

3) Чтобы получить разложение по степеням z π4 ванием стандартных разложений 2 и 3, преобразуем синус:

	π	π		π		π
sin z sin z			sin z		cos

	4	4		4		4

2		π
	sin z		cos z

2		4

	π
cos z		sin

	4

π .

сиспользо-

Теперь применяем стандартные разложения, изменяя порядок следования слагаемых:

		2			π	1
sin z			1	z			z

	2				4	2 !

	1 n
		z
	2 n !

4 !

2 n

1 n

2 n 1

2 n 1 !

π	4	1		π	5
			z			...

4		5!		4

... .

Образование знаков

n 1 n 2 1

законом 1	2	, n

n 0

слагаемых последнего ряда определяется

0, 1, ... . Ряд можно записать так:

	n 1 n 2	1			π n
1	2	1	1		π n
				z		.
				z		.
			n !		4

Применялись ряды с областью сходимости

. Преобразования

не изменили области сходимости и ее можно записать так:

z π

1 k

Ответы. 1) f z

z 1

2 ;

2 k 1

k 0

2) f z

1 n 1 1 2i n 1

z i n ,

z i

1 ;

n 0

n 1 n 2 1

f z

n 0

n !

5. Разложить функции в ряды Лорана в указанных кольцах или предлагаемых окрестностях.

																																						64
		1) f z z 3 sin														1																								f z sin													1
																1		, 0								z		; 2)																									1					, в окрестности особой
																		, 0								z		; 2)																										z				, в окрестности особой
																z									1																													z			1
											f z
точки z 0 1 ; 3)																																		,					2					z i									5 .

																				z 2 3 z 2
																				z 2 3 z 2
		Решение.								1)			В стандартном разложении функции синус вместо																																							z
подставим 1 z :
				sin				1				1						1					1				1			1					... 1 n																		1								1		... .
				sin														3! z 3									5! z 5								... 1 n																2 n 1 ! z 2 n 1												... .
									z			z						3! z 3									5! z 5																								2 n 1 ! z 2 n 1
Тогда
		z 3 sin			1		z 2								1									1	1			...									1 n									1											1					... z 2							1
		z 3 sin					z 2																					...									1 n								2 n 1 ! z 2 n 2																	... z 2
					z										3! 5! z 2																														2 n 1 ! z 2 n 2																							6
														1													1																1																		1					1
		1 n												1													1							z 2									1			1 n 1															1					1				.
		1 n																																z 2												1 n 1																								.
			n 2										2 n 1 ! z 2 n 2																											6							n 1														2 n 3 ! z 2 n
		2) Лорановское разложение данной функции получим, заменяя z																																							на
1		в степенном ряду для функции sin z																																							(стандартное разложение 2):

	z 1
	z 1
		1								1				1					1										1									1																	1 k								1					... .
		sin																																												...
		sin	z 1						z 1								3!				z 1 3											5!				z 1 5										...							2 k				1 ! z 1 2 k 1

		Ряд сходится при любом z 1 , т.е. в кольце 0																																							z 1					.
		3) Преобразуем дробь, определяющую данную функцию.
		1																							1														z 1 z 2																						1				1		.

				z 2 3 z 2																z 1 z 2																				z 1 z 2																			z 2					z 1
		Для точек z										заданного кольца верно
																										z i							1 i									z i							1 i							1 .
																															,																	,
																						2


																																																		z i
Поэтому справедливо разложение																																																		z i
Поэтому справедливо разложение
		1																	1										1											1													1							1 i n

																																									1 i																			z i n
						z				1			z i i 1																		z i 1										1 i											z	i n 0
																															z i 1																						i n 0
																																										z i

1 i

n 1

n 0 z i n 1

n 1 z i n

Для точек z заданного кольца верно

z i

2 i

z i

2 i

и тогда справедливо разложение

z 2

z i 2 i

2 i

z i

2 i

z i n

z i

i n 0

2 i n

n 0

2 i n 1

Искомым разложением в ряд Лорана данной функции является

1 i

n 1

z i

f z

n 1

z i n

n 0 2 i n 1

f z z 2

1 n 1

Ответы. 1)

, 0

;

2 n 3 ! z 2 n

n 1

1 k

2) f z

, 0

;

k 0 2 k 1 ! z 1 2 k 1

1 i

n 1

z i

3) f z

z i

5 .

z i n

2 i n 1

n 1

n 0

Задачи для самостоятельного решения

1. Числовые ряды исследовать на сходимость.

		sin ne in
	1)

		n n
	n 1	n n
	n 1

		cos in
	; 2)
	; 2)	2 n
	n 1	2 n

	cos i	1	n				n
					2 ni
; 3)	2			; 4)
						.
	2 n
n 1				n 1	2 n i

2. Найти круг сходимости степенного ряда.

; 2)

e i n 1 z i n ; 3) sh n 1 i z n .

n 1

i n

n 1

3. Данные функции разложить в ряды Тейлора по степеням z ,

использую стандартные разложения; найти круги сходимости рядов.

f z e 2 z 1 ; 2) f z

sin

; 3) f z

d .

3 4 z

4. Данные функции разложить в степенной ряд по степеням

z z 0 , найти круги сходимости рядов.

f z

z 0 3i ;

f z

, z 0 i ;

3) f z cos z ,

z 0

5. Разложить функции в ряды Лорана в указанных кольцах.

f z

cos z

; 2) f

, в окрестности

z z

z 3

f z

особой точки

z 0 2 ; 3)

, 1

z 1 i

5 .

2 1

Ответы. 1. 1) Сходится абсолютно; 2) Расходится. Указание применить необходимый признак сходимости; 3) Сходится абсолютно; 4)

sh 2 1 sin 2 1 .

Сходится абсолютно. 2. 1)

2 ;

z i

1 ;

z n

1 n 1

n 1

z n ,

3. 1) f z e

;

2) f z

;

3 n

n 0 n!

n 1

z 4 n 2 ,

3) f z

1 n

2 2 n 1 ! 2 n 1

n 0

4. 1) f z

z 3i n ,

z 3i

10 ;

1 3i n 1

n 0

1 n

2 n 2

i n

1 z i n ,

z i

1 ;

2 n

n 0

n 1

3) f z

n 0

n !

1 n

2 n 3

; 2) f z

z 2 k ;

5. 1)

, 0

2 n !

3 z 2

n 0

k 0

								67
	f z		1		1 n 1	1	1			1 n	z 1 i n
3)												,
3)						z 1 i n			1	2i n 1		,
			2 n 1			z 1 i n	2 n 0		1	2i n 1
1		z 1 i		5 .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6

Особые точки. Теорема Коши о вычетах. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов.

Вычисление интегралов от вещественных функций

Классификация изолированных особых точек

Различают три типа изолированных особых точек:

1) точка z 0	является устранимой особой точкой, если
	lim	f z A ,
	z z 0
причем A C ;
2) точка z 0	является полюсом, если
	lim	f z ;
	z z 0

3) точка z 0 является существенно особой точкой, если ни конечного, ни бесконечного предела функции f z при z z 0 не существует.

f z

z z 0 k .

a k

k 0

По

определению

некоторая точка

есть

нуль

порядка n N

функции

f z , если

f z

...

f n 1 z

, f n z

0 .

Если функция

f z

аналитическая

в точке

z1 ,

то в некоторой

окрестности этой точки верно f

z z z

n φ z , φ z

0 .

Теорема. Точка z 0

есть полюс функции

f z

тогда и только тогда,

когда z 0

является нулем функции φ z

По определению

порядком

полюса z 0

функции

f z

является

порядок нуля функции φ z

f z

Для исследования поведения функции вблизи особой точки z 0

или

выяснения типа точки z 0

используют разложение функции в ряд Лорана в

окрестности точки z 0 , т.е. в некотором кольце 0

z z 0

R .

Теорема. Точка z 0

является устранимой особой точкой функции

f z тогда и только тогда, когда ее ряд Лорана в кольце

z z 0

не содержит главной части.

Теорема. Точка z 0

является полюсом n-го порядка функции

f z

тогда

и только тогда,

когда в

окрестности

точки

z 0

справедливо

лорановское разложение

c n

c n 1

c 1

f z

...

c k z z 0

z z 0 n

z z 0 n 1

z z 0

k 0

причем c n 0 .

Из теоремы следует утверждение: точка

z 0

есть полюс порядка n

функции f z тогда и только тогда, когда верно представление

φ z

, φ z 0 0 .

z z

Относительно существенно особой точки справедливо следующее

утверждение.

Теорема. Точка

z 0

является существенно особой точкой функции

f z тогда и только тогда, когда главная часть лорановского разложения функции f z в окрестности точки z 0 содержит бесконечно много членов.

Рассмотрим теперь в качестве особой точки функции	f z
бесконечно удаленную точку, предполагая, что функция	f z

аналитическая в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки. Лорановское разложение функции f z в окрестности z можно

получить заменой ζ 1	z в лорановском разложении функции φ ζ f 1 ζ
в окрестности ζ 0 .	При такой замене правильная часть заменяется

главной, и обратно. Поэтому справедливо следующее утверждение.

Теорема. В случае устранимой особенности в точке z лорановское разложение функции f z в окрестности этой точке вовсе не

содержит положительных степеней z , в случае полюса содержит конечное их число, а в случае существенной особенности – бесконечное.

Пример. Для функции	f z		z 2		точка z является полюсом по
Пример. Для функции	f z		z	1	точка z является полюсом по
			z	1
определению, так как
lim	f z lim				z	1		.

							1
z		z			1
					1

Получим лорановское разложение данной функции окрестности бесконечно удаленной точки.

f z z	1				1		1		1				1		1		,		1 .
	1				1		1		1				1		1
				z 1				...		...	z	1		...		...		z
				z 1				...		...	z	1		...		...		z
		1			z		z 2		z k 1				z		z k
	1	1			z		z 2		z k 1				z		z k
	1		z
			z
Главной частью разложения является одно слагаемое																z .	Согласно
теореме точка z есть полюс.
Если		функция				f z		аналитическая в				некоторой				окрестности

бесконечно удаленной точки и эта точка является устранимой, то считают функцию f z аналитической в бесконечно удаленной точке и принимают

f ( ) lim f ( z ). z

Вычет функции в особой точке. Теоремы Коши о вычетах

Вычетом аналитической функции f z в конечной изолированной особой точке z 0 называется интеграл

res f z	1	f z d z ,

	2 π i
z 0

где – простой контур, обходимый против часовой стрелки; на контуре нет особых точек, а внутри только одна особая точка z 0 .

Формулы для вычисления вычета в конечных особых точках. 1) Для всех типов особых точек

res

f z c 1 ,

z 0

где c 1 –

коэффициент при

первой отрицательной степени z z 0

в лорановском разложении функции f z в окрестности точки z 0 .

Если точка z 0

устранимая особая точка, то res f z 0 .

z 0

2) Если точка z 0

полюс порядка n функции f z , то

res

f z

lim

d n 1

z z z

n .

z 0

n 1 ! z z 0 dz n 1

Если

точка

z 0

является

полюсом первого порядка (простым

полюсом) функции f z

φ z

, то

ψ z

res f z

φ z 0

ψ z 0

z 0

Рассмотрим случай бесконечно удаленной точки.

Пусть

функция

f z

аналитическая

в некоторой окрестности

бесконечно удаленной точки (кроме, быть может, самой этой точки). По

определению вычетом функции					f z	в бесконечно удаленной точке
является интеграл
			res f z		1	f z d z ,

					2 π i
					2 π i

где			– простой контур, обходимый по часовой стрелке; на контуре
и вне нет конечных особых точек.
		Формула для вычисления вычета.
			res	f z c 1 ,

где c	1		– коэффициент при z 1	в лорановском разложении функции f z
	1

в окрестности бесконечно удаленной точки.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025956.42 Кб3методич указания.doc
#
01.05.2025564.74 Кб2Методич_указ_к_сам._работам_2010.doc
#
16.11.2019202.75 Кб17МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КУРСОВОМУ ЭОИ.doc
#
01.05.20254.34 Mб1Методические указания к модулю 3.doc
#
01.04.20254.33 Mб2Методические указания к модулю 3.doc
#
29.03.20163.9 Mб164Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр.pdf
#
10.06.2015936.96 Кб92методичка (с контрольными).doc
#
25.11.201894.21 Кб10методичка 4 курс незаконч.2.doc
#
16.11.20193.22 Mб40Методичка Банкротство.doc
#
01.05.2025141.12 Кб1Методичка ВКР.docx
#
15.08.20192.65 Mб6МЕТОДИЧКА ГОСТ 2.105-95.doc