Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

.pdf

Скачиваний:

166

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

3.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 226 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Степенные ряды. Ряд Тейлора

Выражение вида


c0 c1 z z 0 c 2 z z 0 2				... c k z z 0 k	... c k z z 0 k		,
					k 0
где z –	комплексная переменная, называется степенным рядом;						числа
c0 , c 2 ,..., c k ,...		– коэффициенты степенного ряда, комплексное число z 0 –
центр степенного ряда.
Точка		z	является точкой сходимости		степенного	ряда,	если

числовой	ряд		c k z z 0 k	сходится; z	– точка	абсолютной

k 0

сходимости, этот числовой ряд абсолютно сходится. Представление о множестве сходимости степенного ряда можно получить на основании следующей теоремы.

Теорема Абеля. Если ряд c k z z 0 k

сходится в точке z1 z 0 , то

k 0

он сходится абсолютно при

любом z,

удовлетворяющем

неравенству

z z 0

z1 z 0

, т.е. внутри окружности с центром

z 0 , проходящей через

точку

z1 . Если степенной ряд расходится в некоторой точке

z 2 , то он

расходится при всех

z , удовлетворяющих неравенству

z z0

z 2 z0

т.е. вне окружности с центром z 0 , проходящей через

точку z 2 .

Доказывается, что существует точка

z , такая, что в

z z

z z 0

степенной ряд

c k z z 0 k

сходится, а в

z z 0

расходится.

k 0

z z

В общем случае на

окружности

z z

могут

быть точки

сходимости и точки расходимости степенного ряда.

Пусть R

z z

. По определению

z z

есть круг сходимости

ряда

c k z z 0 k , R – радиус сходимости ряда. В простейших случаях для

k 0

вычисления радиуса сходимости используют формулы:

R lim

c k

c k 1

lim

c k

Приведем основные свойства степенных рядов.

1. Ряд		z z 0 k сходится абсолютно и равномерно внутри круга
1. Ряд	c k	z z 0 k сходится абсолютно и равномерно внутри круга
	k 0
сходимости.

2. Функция		s z c k z z 0 k			внутри круга сходимости является
		k 0
										k можно
однозначной	и	аналитической функцией.				Ряд			c k z z 0	k можно
									k 0
почленно интегрировать всюду внутри круга сходимости:
z			z				c k		z z 0 k 1 ,
s z d z c k			z z 0 k		d z		c k
s z d z c k			z z 0 k		d z
z	0	k 0	z	0	k 0 k			1
	0			0

а также почленно дифференцировать всюду внутри круга сходимости любое число раз:

s z c			2c	2	z z		0	3c		3		z	z		0	2	... ,
	1
s z 2c	2	3 2c			3	z z		0	4		3c		4	z z			0	2	...

и т.д. Получающиеся при этом ряды имеют тот же круг сходимости, что и исходный ряд.

Степенной ряд вида

f z		f z	0	z z		f z	0	z z		2 ...	f	k z	0	z z		k	...
f z	0	1!		z z	0	2!		z z	0	2 ...		k !		z z	0	k	...
	0				0				0						0

называется рядом Тейлора функции f z										в точке z 0 .
Теорема. Всякую аналитическую в точке z 0												функцию			f z можно

в некотором круге z z0 R разложить в ряд Тейлора:

f z			f	k	z 0	z z 0 k ,

				k!
	k	0

причем радиус сходимости равен расстоянию от точки z 0 до ближайшей особой точки функции f z .

Разложение функции в свой ряд Тейлора единственно, поскольку справедливо следующее утверждение.

			k есть ряд
Теорема. Всякий степенной ряд s z	c k z z 0		k есть ряд
	k	0

Тейлора своей суммы s z .

Практически для разложения аналитической функции в степенной ряд, используя теорему единственности и свойства степенных рядов, стараются получить разложение с помощью подстановки, интегрирования, дифференцирования. Для этого необходим запас так называемых стандартных разложений:

e z 1

z 2 ...

z n

...,

;

1 n

sin z z

z 3 ...

z 2 n 1

...,

;

2 n

1 !

1 n

cos z 1

z 2 ...

z 2 n ...,

;

2 n !

z 3 ...

z 2 n 1

;

sh z z

...,

2 n 1 !

z 2 ...

z 2 n

;

ch z 1

...,

2 n !

z 2

1 n 1

z n ...,

ln 1 z z

...

1 , для однозначной

ветви, определяемой равенством ln 1 0 0 ;

1 z α 1

α α 1

z 2

...

α α 1 α n 1

z n

...,

1 ,

для любого комплексного и однозначной ветви, определяемой равенством 1 0 α 1 . При α 1 имеем разложения:

7.1)	1		1	z ... 1 n z n	...,		z	1 ,
	1


1		z
7.2)	1		1	z ... z n ...,	z	1 .
	1


1		z

Ряд Лорана

При исследовании поведения аналитической функции в окрестности изолированной особой точки z 0 необходимо разложить функцию в кольце

вида 0 r z z 0 R . Полученный при этом ряд называется рядом Лорана.

Теорема

Лорана.

Если

функция

f z аналитическая

в кольце

R , то всюду в этом кольце эта функция разлагается в ряд

0 r

z z 0

Лорана:

f z

c k z z 0 k ,

где c k

f ζ

dζ

–

коэффициенты ряда Лорана,

– любой

2 πi

ζ z 0 k 1

контур, окружающий точку z 0

и расположенный в кольце.

Если функция

f z

разлагается в ряд Лорана в окрестности особой

точки z 0 , то

r 0 ,

равно расстоянию от точки

z 0 до ближайшей

другой особой точки.

Ряд

c k z z 0 k

называется правильной частью ряда Лорана, это

k 0

обычный

степенной

ряд

кругом

сходимости

z z0

R ; ряд

c k z z 0

с отрицательными показателями степеней – главная часть

ряда Лорана.

Теорема. Разложение в ряд Лорана функции f z , аналитической в

кольце 0 r

z z 0

R , единственно.

Приведем основные свойства ряда Лорана 1. Ряд Лорана сходится абсолютно и равномерно внутри кольца

сходимости 0 r	z z 0	R , т.е. в	замкнутом кольце r1	z z0	R1 , где
r1 и R1 любые и такие, что r r1 R1			R .

2.Ряд Лорана можно почленно интегрировать вдоль любой кривой

, принадлежащей кольцу сходимости:

f z d z		c k z z 0 k d z .
f z d z		c k z z 0 k d z .
	k

Ряд Лорана можно почленно дифференцировать в любой точке кольца сходимости сколько угодно раз:

		k 1 ,			1 c k z z 0 k 2 ,... .
f z	kc k z z 0	k 1 ,	f z	k k	1 c k z z 0 k 2 ,... .
	k			k

На практике, используя теорему единственности и стандартные степенные ряды, разложение функции в ряд Лорана стараются получить с помощью приемов подстановки, дифференцирования, интегрирования и так далее. В предлагаемых решениях задач на построение рядов Тейлора и Лорана применяем метод подстановки.

Примеры решения задач

1. Числовые ряды исследовать на сходимость.

sin n n icos n

sin

n in cos n

sin in

; 2)

; 3)

;

n 1

n n

n 1

n 2 3

n 1 n 3 n

n i

n in

n 1

Решения. 1) Имеем:

sin n

n icos n

n cos

isin

Поэтому для членов числового ряда верно

e i π 2 n

sin n

n icos n

n n

а поскольку числовой ряд

сходится, то по определению исходный

n 1 n

ряд сходится абсолютно.

2) Получим оценку модуля общего члена данного ряда:

sin

n in cos n

sin n

in cos n

sin

n cos n

sin n in cos n

n 2 3

2 3

n 2

1 n

n 2 3

Исследуем на

сходимость

числовой

ряд

1 n

. Применяем

n 1 n 2 3

признак сравнения в предельной форме. Так как

1 n

n 1

n ,

n 2 3

n 3 n

4 3

и ряд

сходится,

то исследуемый числовой ряд сходится. Тогда,

4 3

n 1 n

согласно признаку сравнения, исходный ряд из комплексных чисел сходится абсолютно.

3) Для исследования на абсолютную сходимость применим признак

Даламбера. Общий член ряда равен z n

sin in

ish n

, а его модуль

n3 n

ish n

sh n

e n

e n 1 1 e

2 n

z n

n3 n

Вычисляем предел:

lim

n 1

lim

e n 1 1 1 e 2 n 1 n 3 n

lim

1 1 e 2 n 1

z n

n n 1 3 n 1 e n 1 1 e 2 n

3 n

1 1 e 2 n

lim

n n

Поскольку e3 1 , то, по признаку Даламбера, комплексный ряд сходится абсолютно.

4) Составим и вычислим предел для корня модуля общего члена исследуемого ряда:

		n i		n
lim n
		n
n	3		in

n i

lim

n in

lim

n 2 1

lim

n 1 1 n 2

3 n 2 n 2

1 3 n 2 1

n n

Поскольку 12 1 , то, согласно признаку Коши, ряд сходится абсолютно. Ответы. 1) Сходится абсолютно; 2) Сходится абсолютно;

3)Сходится абсолютно; 4) Сходится абсолютно.

2.Найти круг сходимости степенного ряда.

i n

n 1

i z 2 n .

; 2)

sin

; 3) ln

n 1 2 i

n 1

Решения. 1)

2 i n

n 1,

2, ... , – коэффициенты ряда, z

–

центр ряда. Круг сходимости имеет вид:

R , где R – радиус сходимости.

c n

2 i

4 1

Применим формулы для вычисления радиуса сходимости.

lim

5 .

n n

Для данного степенного ряда множество

является кругом

сходимости.

2) c n sin

n 1, 2, ... , – коэффициенты ряда,

z 0

– центр ряда.

Круг сходимости имеет вид:

z i

R ,

где

–

радиус

сходимости.

Вычислим радиус сходимости.

sin

ish

R lim

c n

lim

c n 1

sin

ish

n 1

e 1 n e 2 n 1

e n e

1 n 1

lim

1 n 1 e 2 n 1

n e

e1 n

e n 1

lim

e 2 n

lim

2 n

1 .

n e 2 n 1

n 2

3) c n 1

n n 1

, n

1, 2, ...

, – коэффициенты ряда, z 0 2 – центр

ряда. Круг сходимости имеет вид:

z 2

R ,

где R –

радиус сходимости.

Вычислим радиус сходимости.

Поскольку

n 1

2 n 1

π 2

то с применением формулы имеем:

2 n 1

π 2

n 1

R lim

lim

n n

c n

ln 2 1

π 2

Ответы. 1)

5 ; 2)

1 ; 3)

z i

3. Данные функции

разложить в

ряды

Тейлора

по

степеням z ,

используя стандартные разложения; найти круги сходимости рядов.

z ln 6 z z 2 ; 3) f z

1) f z

; 2) f

2 d .

4 z

Решения. 1) Преобразуем данную функцию:

Для разложения последней дроби используем стандартное разложение 7.1:

																	z 2						z 2				2											z 2
						z			1			z					z 2						z 2											1		n		z 2
														1														...								n			...
										z 2				1														...											...
						4				z 2		4				4								4														4
							1
							1			4
										4
	z			z	2			z	4		... 1				n	z 2 n										z			z 3					z 5			...			1 n	z	2 n 1
			1																		...																							... .
			1																		...																							... .
	4			4			4		2							4		n							4				4	2			4		3						4		n 1
							4									4													4				4								4
		Найдем круг сходимости полученного ряда, используя круг
сходимости стандартного ряда																			z			1 .
сходимости стандартного ряда																			z			1 .
													z 2		1 ,					z		2	1 ,				z	1 ,				z		2 .




													4						4								2
													4						4								2

		2) Для						применения									стандартного														разложения									6			выполним
преобразования данной функции.
					2	z				2	z 6 z																														z				z
6			z z																2 z						3 2 z 3 z 6															1			1			.
6			z z																2 z						3 2 z 3 z 6															1			1			.
																																									2				3

Используя полученное преобразование и свойства логарифмов, запишем:

		2		z
ln 6	z z		ln6 1		1

				2

z
	ln 6	ln 1

3

z		z
	ln 1		.

2		3

Теперь применим стандартное разложение:

	z	z	z 2		z 3		... 1 n 1	z n	... .
ln 1
				2		3		n 2 n
	2	2	2 2		3 2

Найдем круг сходимости полученного ряда:

Аналогично получаем разложение

z	1 ,	z	2 .

2

	z		z	z	z 2		z 3			z n
ln 1		ln 1							...
						2		3		n 3 n
	3		3	3	2 3		3 3

и круг сходимости: z 1 , z 3 .

Оба полученных ряда одновременно сходятся в круге z множестве выполняем сложение рядов:

...

2 . На этом

						z					z					z			z 2				z 3			... 1				n 1				z n
ln 6 ln			1				ln 1					ln 6																							...
ln 6 ln			1				ln 1					ln 6								2		3 2 3											n 2 n		...
						2					3				2			2 2		2		3 2 3											n 2 n
		z		z 2				z 3					z n								1			1			1			1		2
										...				... ln 6											z						z			...
				2 3 2					3	...			n 3 n	... ln 6											z						z			...
		3		2 3 2				3 3	3				n 3 n								2			3			8		18
	1 n 1 3 n 2 n														1				13								1 n 1 3 n			2 n
					n			z n		...		ln 6					z			z 2			...						n					z n ... .
				n 6				z n		...		ln 6			6		z		72	z 2			...					n 6						z n ... .
															6				72

Последний ряд имеет круг сходимости z 2 .

3) Применяя стандартное разложение 1, получаем:

		η 2				2 n
				n	η
e	2		1				,

			n 0		n !2 n

причем ряд сходится в каждой точке комплексной плоскости. Следовательно, почленное интегрирование возможно при любом верхнем пределе z .

n η

2 n

n z

2 n

f z e

dη

d η

0 n 0

n !2

n 0 n !2

1 n

z 2 n 1 .

n 0 n !2 n 2 n 1

Поскольку почленное интегрирование степенного ряда приводит к ряду с тем же кругом сходимости, то круг сходимости (область сходимости)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 226 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.20191.01 Mб22МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОНЦЕНТРАЦИЙ В АТМОСФЕРНОМ ВОЗ...docx
#
01.04.2025956.42 Кб5методич указания.doc
#
01.05.2025564.74 Кб5Методич_указ_к_сам._работам_2010.doc
#
16.11.2019202.75 Кб20МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КУРСОВОМУ ЭОИ.doc
#
01.04.20254.33 Mб6Методические указания к модулю 3.doc
#
29.03.20163.9 Mб166Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр.pdf
#
01.07.20251.87 Mб0МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по КП.doc
#
01.07.2025688.13 Кб2Методичка по РАСЧЕТУ СИСТЕМ КОНДИЦИОНИРОВАНИЯ.doc
#
10.06.2015936.96 Кб92методичка (с контрольными).doc
#
25.11.201894.21 Кб13методичка 4 курс незаконч.2.doc
#
16.11.20193.22 Mб43Методичка Банкротство.doc