Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

z1

z n d z

1

z n 1

z1

.

n 1

z 0

z 0

переменного, когда интегрирование ведется по замкнутой кривой.

Теорема Коши (случай односвязной области). Пусть функция

f z

аналитическая в односвязной конечной области D и непрерывна на

кусочно-гладкой кривой D . Тогда

f z dz

0 ,

Теорема. Пусть D является n-связной областью,

D 1 ... n .

Граничные компоненты k , k 1, n ,

являются кусочно-гладкими

контурами, 2 ,..., n

расположены

внутри

1 .

Если

функция

f z

аналитическая в D и непрерывная на D , то

f z d z

n

f z d z ,

k 2

k

1

где контуры 1 ,..., n

ориентированы одинаково (против часовой стрелки

или по часовой стрелке).

Из интегральной теоремы Коши вытекает одна из важнейших формул

теории функций комплексного переменного – интегральная формула Коши.

Теорема.

Пусть

функция

f z

аналитическая

в

односвязной

ограниченной области D и непрерывна на D ,

контуре,

положительно

ориентированном и кусочно-гладком. Тогда для любой точки z 0 D

верна

формула

f z 0

1

f z

d z ,

2 π i z

z 0

называемая интегральной формулой Коши.

Теорема

(случай

многосвязной

области). Пусть функция

f z

является аналитической в n-связной

ограниченной

области

D

и

непрерывной на границе области D , D 1

n , причем контур

42

охватывает 1 ,

, n ;

контуры

,

1 , 2 ,...,

n

положительно ориентиро-

ваны. Тогда справедлива формула

f z 0

1

n

f z

d z .

2 π i

z z 0

k 1 k

Следствие (существование производных любого порядка). Пусть

функция f z

аналитическая в m-связной

ограниченной

области

D и

непрерывна на кусочно-гладкой

D .

Тогда

функция

f z

обладает

производными

всех

порядков

в

каждой

точке

области D

и

для

произвольной точки z 0 D

верно

f n z 0

n!

f z

dz , n N .

2 πi

z z 0 n

1

D

Примеры решения задач

1. Найти

коэффициент

растяжения

k

и угол поворота

при

заданном отображении w

f z

точке z 0 .

1

iz

2

f z z 3

1

z 2 4 z , z

1) f z ie 2 , z

π ; 2)

i .

0

0

3

2

Решения. 1) Найдем производную данной функции в произвольной

точке z :

1

iz

1

iz

1

iz

1

1

1

f z ie 2

iz

i ie 2

e 2 .

2

2

2

В заданной точке z 0

2

π имеем:

3

1

2

π

π

2 π

f z 0

1

i

π

1

i

1

e iπ e

i

1

i

e 2

3

e

3

3

e 3 .

2

2

2

2

По определениям величин k ,

φ и определения показательной формы

записи комплексного числа имеем:

k

f z 0

1

,

φ arg f z 0

2

π .

2

3

f z 3 z 2 z 4 ,

f z

0

f i 3i 2 i 4 3 i 4 1 i .

Вычислим значения величин k

и φ .

f z

12

12

φ arg f z

arg 1 i

k

0

1 i

2 ,

0

arctg

1

arctg1

π

.

1

4

Ответы. 1) k

1

,

φ

2

π ; 2) k

, φ

π

.

2

2

3

4

2. Вычислить интегралы от функций комплексного переменного.

1)

zRe zd z , где

–

отрезок

прямой от точки z 1 i

до точки

z 2 3i

(рис. 4.3);

2) 2 z 1

d z , где L z

z

1, 0 arg z ориентирована

z

L

положительно.

Решение.

1) Поскольку

f z zRe z

и f z x 2 ixy , то,

применяя

первую формулу, получим равенство

zRe zdz x 2 d x xy dy i xy dx x 2 d y .

x t ,

,

1 t 2

y

2t 1,

вычисляем:

2

2

2 2t d t t 3

2

2

x 2 d x xy d y t

2 2t 2t 1 d t 3t

t 2

1

1

1

1

8 1 4 1 4 ,

2

2

2

2

xy d x x 2 d y

t 2t 1

2t 2 d t

4t

2 t d t

4

t 3

1

t 2

1

1

3

1

2

1

zRe zd z 4 i

47

.

6

π

2 e it

1 e it d e it

π

π

2 e it

π

π

2 e it 1 e it e it id t i

1 d t e it d it i d t

0

0

0

0

0

2 e it

π

it

π

2 e iπ 2 iπ 2 2 iπ 4 iπ .

0

0

47

Ответы. 1) 4

i

; 2) 4 iπ .

6

3. Вычислить интегралы от функций комплексного переменного.

1 i

1

1)

2 z 1 d z ;

2) zsin zd z .

1 i

i

1 i

1

1 i

1

1

2 z 1 2

1 i

2 z 1 d z

2 z 1 d z 2 z 1

1 i

2

1 i

2 2

1 i

1

2 1 i 1 2 2 1 i 1 2

1

1 2i 2 3 2i 2

4

4

1

1 4i 4 9 12 i 4 2 2i .

4

2) Применим формулу интегрированиям по частям:

u z , dv sin zdz , du dz , v cos z ,

1

1i

1

1i

zsin zd z

zcos z

cos zd z cos 1 icos i sin z

i

i

cos1 ich1 sin 1 sin i cos1 ich1 sin 1 ish1

sin 1 cos1 i ch1 sh1 .

Ответы. 1) 2 2i ; 2)

sin 1 cos1 i ch1 sh1 .

4. Вычислить интегралы, применив интегральную формулу Коши.

1)

e 2 z

d z ; 2)

e 2 iz

d z .

2 1

z 2

i

1

z i

1 z

z

3

z

2

2

2