Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

y

1

ln x 2

y 2 iarctg

y

ln z ln

z

iarg z ln

x 2 y 2

iarctg

.

Поскольку

x

2

x

f x iy 2 x 3

6 xy 2

i 6 x 2 y 2 y 3

3

iln x 2

y 2 3arctg

y

2

x

3

2

y

2

3

3

2

2

2 x

6 xy

3arctg

i 6 x

y

2 y

ln x

y

.

x

2

e 2 x iy e 2 x i 2 y

e 2 x cos 2 y isin 2 y e 2 x cos 2 y ie 2 x sin 2 y .

x iy 2 3i x iy x 2 2ixy y 2 3ix 3 y

x 2 y 2 3 y i 2 xy

3 x .

Получим разложение заданной функции:

f x iy e 2 x cos 2 y ie 2 x sin 2 y x 2 y 2 3 y i 2 xy 3 x

e 2 x cos 2 y x 2

y 2

3 y i e 2 x sin 2 y 2 xy 3 x .

Ответы. 1) u sin 3 xch 3 y

2 x 2 2 y 2

x , v cos 3 xsh 3 y 4 xy y ;

2) u 2 x 3 6 xy 2 3arctg

y

,

v

6 x 2 y 2 y 3

3

ln x 2 y 2 ,

x 0 ,

y 0 ;

2

x

32

3) u e 2 x cos 2 y x 2 y 2

3 y , v e 2 x sin 2 y 2 xy 3 x .

2. Вычислить значение элементарной функции.

π

π

1) sin

2i ; 2) ln

3 i ; 3)

ch 3

i

.

4

4

π

π

π

2

2

sin 2i .

sin

2i

sin

cos 2i cos

sin 2i

cos 2i

4

4

4

2

2

cos iz

ch z ,

sin iz ish z .

π

2

2

sh 2 .

sin

2i

ch 2 i

4

2

2

2

12

1

π

.

z

3

3 1

4 2 , arg z arctg

3

6

Теперь по определению главного значения логарифмической

функции имеем:

ln

i ln

z

iarg z ln 2 i

π

.

3

6

i

π

ch 3ch i

π

sh 3sh i

π

.

ch 3

4

4

4

i

π

ch 3cos

π

ish 3sin

π

2

ch 3 i

2

sh 3 .

ch 3

4

4

4

2

2

Ответы. 1)

2

ch 2 i

2

sh 2 ; 2) ln 2 i

π

; 3)

2

ch 3 i

2

sh 3 .

2

2

6

2

2

u

2 xy , u

x 2 3 y

2 , v

2 y

2 , v

4 xy .

x

y

x

y

2 xy 4 xy ,

xy 0,

x 0 ,

2

3 y

2

2 y

2

2

y

2

0,

x

,

x

y 0 .

f 0

u

iv

2 xy i 2 y 2

0 .

x

x

x 0

y 0

x 0

y 0

2 y y 2

3 x x 2

C i 2 x 3 y 2 xy i 2 x iy 3 x iy x 2

y 2

2ixy C

i 2 z 3 z z 2 3 2i z z 2 C .

Итак, функция имеет вид f z 3 2i z z 2

C .

Найдем значение постоянной C .

Ответ. 1)

f z

i

z 2

1 i ; 2)

f z 3 2i z z 2 1 .

2

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить функцию f z комплексного переменного

z x iy

с помощью двух действительных функций u Re f z , v Im f z .

1) f z cos 2 z 3 z 2 ;

2) f z

3 z 3 2iln z ,

Re z 0 ,

Im z 0 ;

3) f z e 3iz

z 2 2 z .

2. Вычислить значение элементарной функции.

ln 2 i

π

π

π

1) cos

3i

; 2) e

3 ; 3) sh 2

i ;

6

4

3. Выяснить, в каких точках функции дифференцируемы, и в каких

1) f z zRe

2 ; 2)

f z

z 2 ; 3)

f z cos

3i .

z

z

z

4. Найти аналитическую в точке

z 0 функцию f z , если задана ее

действительная часть u x , y

или мнимая часть v x, y , а также ее значение

f z 0 .

1) z

i

π

, u e 2 x cos 2 y 4 xy ,

f z

1 . 2) z

i , u e y sin x 2 xy ,

0

0

0

2

f z 0 i ; 3) z 0 i , v 4 x y 4 xy ,

f z 0 i .

Ответы. 1.

1) u cos 2 xch 2 y 3 x 2

3 y 2 ,

v sin

2 xsh 2 y 6 xy ;

2) u 3 x 3

9 xy 2 2arctg

y

2 π ,

v 9 x 2 y 3 y 3 ln x 2

y 2 ,

x 0 , y 0 ;

x

3) u e 3 y cos 3 x x 2

y 2 2 x ,

v e 3 y sin 3 x 2 xy 2 y .

3

1

2

sh 2 i

1

ch 3 .

2. 1)

ch 3 i

sh 3 ;

2)

1 i

3 ;

3)

3. 1) Функция

2

2

2

2

точках

z k

πk , не является

аналитической.

Значения

производных

в

точках

z

, k 0, 1, 2, . . .

равны 0. 4. 1)

f z e 2 z

2iz 2

π 2

i ;

2)

k

2

f z ie iz

iz 2 ie ; 3) f z 1 4i z 2 z 2 2 .

Пусть отображение w f z

однозначно в некоторой окрестности

точки z 0 и f z 0 0 ; : z z t , t0

t t1 , причем функция z t дифферен-

цируема в окрестности точки t 0

(рис. 4.1).

z t0

iy

z t0

t

d z t0

Г

z 0

z t0

x

Рис. 4.1

38

dz t0 z t0 t

– бесконечно малый вектор, касающийся кривой в

точке z 0 .

Пусть w0

f z 0 и L : w w t , w t f z t , t0 t t1 ,

– образ

при

отображении w

f z .

Тогда

вектор

dw t0

f z t0 dz t0 f z t0 z t0 t

есть

бесконечно малый вектор, касающийся кривой L в точке w0 .

Числа

dz t0

,

dw t0

– длины соответствующих бесконечно малых

векторов. Тогда отношение

dw t0

f z 0

z t0

t

f z 0

dz t0

z t0

t

d z t0 при

есть коэффициент

растяжения

вектора

отображении

Поскольку dw t0

f z t0 dz t0 и argd w t0 arg f

z 0

argd z t0 ,

то величина

α argd w t0 argd z t0 arg f z 0

есть

угол

поворота

вектора d z t0 при отображении w

f z (рис. 4.2).

iy

iv

dz

w f

z

L

Г

dw

dw

w0

z 0

х

u

Рис. 4.2

Интегрирование функций комплексного переменного

Пусть

на

кривой

задана

комплекснозначная

функция f z .

Рассмотрим разбиение ориентированной кривой

на дуги

z k 1 z k ,

k 1, n ,

точками z 0 ,...,

z n , взятыми

в

порядке следования

по

кривой.

Пусть

ζ k z k 1 z k ,

z k z k

z k 1 , lk

–

длина дуги

z k 1 z k ,

λ n

max lk .

1 k n

n

Составим интегральную сумму для данного разбиения s n f ζ k z k .

k 1

Если при

n

и

λ n

0

существует

конечный

предел

n

f z d z

lim f ζ k z k .

n

k 1

λ n 0

рода.

2.

Пусть : z z t , α t β , –

гладкая

кривая, функция f z

непрерывна на . Тогда

β

f z d z f z t z t d t .

α

Приведем основные свойства интеграла от функции комплексного

переменного, необходимые для вычислений.

1.

Линейность интеграла. При любых a , b C

верно

af z bg z dz a f z dz b g z dz .

2.

Зависимость интеграла от ориентации кривой:

f z dz f z dz ,

где кривые и различаются только ориентацией.

3.

Аддитивность интеграла по множеству интегрирования:

f z dz

f z dz f z dz ,

1 2

1

2

является первообразнойдля функции

f z

в области D.

Если функция f z является аналитической в области D, то интеграл

не зависит от формы кривой . Поэтому

z

f z d z f

z d z ,

z 0

где z 0 , z – соответственно начало и конец кривой .

Теорема. Пусть функция f z

аналитическая в односвязной области

D . Тогда верна формула

z1

z1

f z d z F z1 F z 0

F z

z 0

,

z 0

называемая формулой Ньютона-Лейбница, где

F z – любая

первообразная функции f z в области D .

Следствие. Если функции f z и

g z

удовлетворяют условиям

z1

z1

z1

f z g z d z f z g z

g z f z d z .

z 0

z 0

z 0

z1

e z d z e z

z1 ,

z1

1

z1

1

z1

sin 2 zd z

2 zd2 z

,

sin

cos 2 z

z 0

z 0

z 0

2

z 0

2

z 0