Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

18

6

y1

2 x1 3 2

3

, y 2 2 x 2 3 2 2 3 2 .

5

5

Таким образом,

z1

18

6

i ,

z 2

2 2i .

5

5

3)

Множество

точек

комплексной плоскости, удовлетворяющие

Преобразуем второе неравенство: 2 y 1 x 5 ,

y

1

x 5 1 .

2

iy

3i

z 2

i

z 0

z1

1

2

3

x

y

1

x 5

1

2

Рис. 2.9

Найдем вершины z1

и z 2 . Действительная и мнимая части числа

y 1,

z1 составляют решение

системы

уравнений

которая

y 1 x 5 1,

2

1

x 5

1,

1

равносильна системе

2

Луч arg z 3 i

3

π расположен на

прямой

с

угловым

4

коэффициентом tg

3 π

1

и проходящей через точку z 0 3 i ,

а потому

4

имеющей уравнение y x 3 1 .

Действительная и мнимая

части числа

z 2

составляют

решение

y x 3 1,

1 x 5 1 .

системы уравнений y

Исключая

y ,

получаем уравнение

2

x 3 1

1

x 5 1 . Решим это уравнение.

2

x 3 1

1

x

5

1 ,

1

x 3

5

,

x 6 5 1 .

2

2

2

2

Соответствующая решению компонента y 1 3 1 3 .

Таким образом, x 1 ,

y 3

– решение системы, и z 2 1 3i .

4) Первое неравенство определяет совокупность точек плоскости,

представляющее собой внутренность угла с вершиной в точке

z 0 i и

ограниченного лучами, образующими с осью Ox

углы

3 π

и

π

. Второе

4

2

x 2

y 1 2 1,

2

y 1

2

1,

x

y tg

π

x 1,

y x 1 .

4

Исключив y из первого уравнения последней системы, получаем

уравнения

1

x 2 x 2 1 , 2 x 2 1 , x 2

, x

1

2

.

2

2

2

Соответствующее

найденному

значению компоненты x

значение

другой

компоненты

y

находим

из

второго

уравнения

системы:

y

2 1 .

2

Таким образом,

x

2 , y

2 1

–

решение системы, и

2

2

z1

2 i

2 1 .

2

2

С использованием рисунка находим:

z 2

2i ,

z 3 0 .

области, интервал

z1 , z 2 принадлежит области,

z1 18 5 i 6 5 ,

z 2 2 2i , z 3 4 ;

3) Область – дважды заштрихованный треугольник

треугольника: z 0 3 i , z1

5 i , z 2

1 3i .; 4) Область – сектор круга,

заштрихованный дважды (рис. 11), причем дуга z1 z 2 z 3 , кроме точек z1

и

z3 , принадлежит области;

z1

2 i

2 1 ,

2i ,

z 3 0 .

2

2

z 2

Радиусы z 0 , z1 , z 0 ,

z 3 не принадлежат области.

Задачи для самостоятельного решения

1. Установить,

какие

линии

определяются

следующими

параметрическими уравнениями.

3) z 3t 2 i ,

1) 3

z

Re z 0 ; 2)

z 2 it ,

0 t 1 ;

1 t 1 ;

4) z 1 ie it , π t π .

2. Установить, какие области заданы неравенствами.

9

1

z 4

i

π

1) 1

z 2 i

2 ; 2)

z 3i

3 , Im z

i

Re z ; 3)

arg

,

4

2

2

Im z i

1

Re z ; 4)

0 arg z i

1

π ,

z i

1 .

2

2

3

2

3

2

2

2

Ответы. 1. 1)

Эллипс

x

y

3

2

1 ; 2) Отрезок

2

2

z 1

1 , обходимая один раз по часовой стрелке. 2. 1) Замкнутое кольцо,

z1 и z 2 не принадлежат области,

дуга окружности z1 z 3 z 2 ,

кроме точек z1

и z 2 , принадлежит

области,

z 3 6i ;

3) область

–

внутренность

треугольника z 0 z1 z 2

(рис. 2.12),

причем

z 0 4 i ,

z1 i ,

z 2 6 2i ;

Малая дуга z1 z 2 не принадлежит

области,

радиусы

z 0 , z1 и

z 0 , z 2

не принадлежат области; z 0 i ,

z1 1 i ,

z 2

2 i

2 1 .

2

2

iy

iy

z3

z

2

z

1

z 0

3i

i

z1

x

z 2

x

Рис. 2.11

Рис. 2.12

z 0

z1

(точка некоторого множества E). Задавая функцию, пишут

w

f z , где

буквы «z»

и «w» являются соответственно аргументом

и

функцией

(зависимый

аргумент), формула f z определяет правило

соответствия

f x iy u x ,

y iv x , y .

Тогда система

u u x ,

y ,

x , y D ,

y ,

v v x ,

1. Показательная

функция

w e z

при

z x iy

определяется

равенством

e z

e x cos y isin y ,

Свойства: 1) однозначная; 2) e z1 z 2 e z1 e z 2 ; 3) функция периоди-

ческая с периодом 2 πki , k Z .

2. Логарифмическая функция w Ln z определяется равенством

Ln z ln

z

i arg z 2 πk , k Z .

Свойства:

1) бесконечнозначная;

2) имеют место

равенства

Ln z

1

z

2

Ln z

1

Ln z

2

, Ln

z1

Ln z

Ln z

.

1

2

z 2

Функция

ln z ln

z

iarg z

–

однозначная

функция,

называемая

главной ветвью функции w Ln z .

3. Тригонометрические

функции w sin z ,

w cos z определяются

равенствами

e iz

e iz

e iz e

iz

sin z

,

cos z

.

2i

2

4. Тригонометрические функции

w tg z ,

w ctg z

определяются

равенствами

tg z

sin z

, ctg z

cos z

.

cos z

sin z

Свойства: 1) однозначные; 2) для тангенса точки z k

π

π k ,

k Z ,

2

являются точки z k πk ,

k Z ; 3)

функции периодические с периодом

πk , k Z ; 4) имеют место тригонометрические формулы.

5. Гиперболические

функции

w sh z ,

w ch z

определяются

равенствами

Пусть функция w f z

однозначна в некоторой окрестности точки

z 0 ,

z – произвольное,

z z

принадлежит окрестности. Конечное число

lim

f z 0

z

z 0

есть

по определению

производная

функции w f z в

точке

z 0

и

обозначается

f z 0 .

По определению функция w

f z дифференцируемая в точке

z 0 ,

если имеет место представление

f z 0 A z α z z

для любой точки z из некоторой окрестности точки z 0 ,

причем

α z

бесконечно малая функция бесконечно малой переменной z .

Теорема. Функция w

f z

дифференцируема в точке

z 0 тогда и

только тогда, когда существует f z 0 , причем A f z 0 .

По определению

A z

или

f z 0 z есть дифференциал функции

w

f z в точке z 0 ; обозначения дифференциала: dw, df z 0 , d f z 0 , z .

Имеют

место

правила

дифференцирования

и

свойства

F z f g z f g z g z .

Элементарные функции (однозначные ветви) дифференцируемы в

любой точке области определения, например,

2 z 2 e z

sin e 2 z e z 3i cos e 2 z e 2 z e z cos e 2 z e

e z 2 e z cos e 2 z 1 .

Теорема Коши-Римана. Для того чтобы функция

f z u x, y iv x, y

была дифференцируема в точке

z 0 x0 iy 0 , необходимо и достаточно,

чтобы выполнялись два условия:

1) функции u x , y и v x, y

были дифференцируемы в точке

u

v

,

u

v

.

x

y

y

x

Следствие. При выполнении

условий теоремы для производной

f z имеет место формула

f z

u

i

v

.

x

x

По определению функция

f z аналитическая в точке z 0 , если она

f z является аналитической в каждой точке области D ,

то

такую

функцию называют аналитической в области D . Подчеркнем,

что

данное

30

Примеры решения задач

1. Определить функцию

f z

комплексного переменного z

x iy с

помощью двух действительных функций u

Re f z , v

Im f z .

1) f z sin 3 z 2 z 2 z ;

2)

f z 2 z 3

3iln z ,

Re z 0 ,

Im z 0 ;

3) f z e 2 z z 2 3iz .

Решение. 1) Заменим

переменное

z

в аналитическом

задании

2 x iy 2

x iy 2 x 2

2ixy y 2 x iy 2 x 2

2 y 2

x i 4 xy y