Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

171

Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:

R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e-λt) = e-λt.

Показательным законом надежности называют функцию надежности,

определяемую равенством

где λ – интенсивность отказов.

Примеры решения задач

1. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти М(Х), D(X), σ.

Решение. Воспользуемся формулами (14.5), (14.6) и (13.7):

0, 2 0, 447.

2.Пусть время безотказной работы элемента распределено по

показательному закону с плотностью распределения f t 0,1 e 0,1t , при

t 0 . Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.

172

Решение. Так как λ = 0,1, то по (14.22) получаем

R 10 e 0,1 10 e 1 0, 368 .

3. Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более 2 минут.

Решение. Время ожидания является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке [0, 5]. Тогда, согласно (14.8)

И по (14.9)

P (0 x 2) 2 0 2 0, 4. 5 0 5

4. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 3, σ = 2. Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4, 8).

Решение. Воспользуемся формулой (14.15):

Значения 2, 5 и 0, 5 найдены по таблице приложения.

5. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид

Определить константу С, найти функцию распределения, вычислить вероятность P 1 X 1 , вычислить математическое ожидание и дисперсию

данной случайной величины.

173

получаем C 3 .

8

Заметим, что интервал [0, 2] делит область значений аргумента на три части: ( , 0], [0, 2], (2, ) . Рассмотрим каждый их этих интервалов.

В первом случае вероятность события вычисляется следующим образом:

так как плотность на полуоси , 0 равна 0. Во втором случае

Наконец, в последнем случае, когда x 2 ,

так как плотность обращается в ноль и на полуоси 2, . Итак, получена функция распределения

3x

F ( x ) , 0 x 2,

8

1, x 2 .

Вероятность вычисляем по формуле (14.2):

P 1 X 1 F 1 F 1 1 0 1 . 8 8

175

Задачи для самостоятельного решения

1.Случайная точка A имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния точки до центра круга.

2.Плотность распределения случайной величины Х имеет вид

C ( x 1), x [ 1, 2], f ( x )

0, x [ 1, 2].

Вычислить константу C , функцию распределения, математическое ожидание и вероятность P X 2 1 .

3.Проверить, что функция

0, x 0,

может быть функцией распределения некоторой случайной величины. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

4.Стержень длиной 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня?

5.Отрезок длиной 12 см случайным образом разрезается на 2 части. Точка разреза равномерно распределена на всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка?

6.Плотность распределения случайной величины имеет вид

вычислить константу C , функцию распределения, математическое

7. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [2,6]. Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения.

176

Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок [2,5] и на отрезок [5,7].

8. Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром = 0,05 (отказа в час), т.е. имеет функцию плотности

Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача.

9. Случайная величина X задана функцией распределения F x

Найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

10. Случайная величина X задана плотностью f x

0, x 1

1

f ( x ) ( 2 x 1), 1 x 2

2

0, x 2

Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию

Длительность времени безотказной работы первого имеет показательное

откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г)

16.Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны

10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале 12, 14 .

17.Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X , которая распределена нормально с математическим ожиданием, равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более

18.Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

Указание. Так как измерения без систематических ошибок, считаем математическое ожидание равным нулю.

19.Случайная величина X распределена нормально со средним

квадратическим отклонением 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.

178

Указание. Использовать «правило трех сигм».

20. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением5 мм и математическим ожиданием a 0 . Сколько процентов годных деталей производит автомат?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 15

Математическая статистика

Математическая статистика – это наука, которая, основываясь на методах теории вероятностей, занимается систематизацией и обработкой статистических данных для получения научных и практических выводов.

179

Генеральная и выборочная совокупности

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего этот объект. Иногда проводят сплошное обследование, т.е. исследуется каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. Но на практике сплошное обследование применяется крайне редко. Например, если совокупность содержит очень большое число элементов. В таких случаях из всей совокупности случайным образом отбирают ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью (или выборкой) называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность элементов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности принято обозначать буквой N , объем выборочной совокупности обозначают n .

Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем

i 1

расположенные в возрастающем порядке, называются вариационным рядом. Вариационный ряд называется дискретным, если его члены принимают конкретные изолированные значения. Если члены ряда могут заполнить некоторый интервал, то такой ряд называется непрерывным. Наименьшее и наибольшее значения вариационного ряда обозначают и , и называют крайними членами вариационного ряда.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. В случае непрерывного вариационного ряда или когда объем выборки очень велик,

180

статистическое распределение задается в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. В этом случае весь интервал

соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал.

Согласно формуле Стерджеса, рекомендуемое число интервалов разбиения

Понятно, что группировка связана с потерей части полезной информации, заключенной в выборке. Однако она имеет и свои преимущества. Например, в случае очень большого объема выборки при группировке значительно сокращается объем вычислений.

Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количест-

x будет меняться, то вообще говоря, будет изменяться и относительная

частота, то есть относительная частота n x есть функция от x . Так как эта

n

функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения

Fn x n x , n