Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

161

162

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 14

Непрерывные случайные величины и их характеристики

Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.

Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной случайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов задания закона распределения. Но для непрерывной случайной величины вероятность каждого отдельного ее значения равна 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.

Плотность распределения случайной величины

Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величины является так называемая плотность распределения

распределения; она является одной из форм закона распределения случайной величины, существует только для непрерывных случайных величин.

Свойства плотности распределения. 1) неотрицательная, т.е.

f( x ) 0 .

2)Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток [a; b] равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от a до b, т.е.

a

163

3) Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле

4) Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности непрерывной случайной величины в бесконечных пределах равен единице, т.е.

Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

Как отмечалось выше для непрерывной случайной величины X, вероятность события X c , где c – число, равна нулю.

Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточены на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a, b], f (x) ≡ 0.

Распространим определения числовых характеристик случайных величин на непрерывные случайные величины, для которых плотность распределения служит в некотором роде аналогом понятия вероятности.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется

Общее определение дисперсии сохраняется для непрерывной случайной величины таким же, как и для дискретной, а формула для ее вычисления имеет вид:

Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле (13.7).

164

Если все возможные значения непрерывной случайной величины не выходят за пределы интервала [a, b], то интегралы в формулах (14.5) и (14.6) вычисляются в этих пределах.

Равномерный закон распределения

Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение, т.е.

непрерывной случайной величины X изображен на рис. 14.1.

f(х)

1/(b – a)

Рис. 14.1

Функцию распределения непрерывной случайной величины X, распределенной по равномерному закону достаточно легко найти и она имеет следующий вид:

165

График F(x) изображен на рис. 14.2.

F(х)

1

Рис. 14.2

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал , a b равна

Определим математическое ожидание и дисперсию равномерно распределенной случайной величины X. Согласно формуле (14.5),

Согласно формуле (14.6),

166

Нормальный закон распределения

Нормальный закон (закон Гаусса) играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон наиболее часто встречается на практике.

Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a и > 0, если ее плотность распределения имеет вид

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). График функции (14.12) изображен на рис. 14.3.

f(х)

1/ (2 )1/2

Рис. 14.3

Тот факт, что случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a и , сокращенно записывается так: X N (a , ) .

169

Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет показательный закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид

где 0 параметр распределения.

В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром . В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. График плотности f(x) приведен на рис. 14.4.

f(х)

Рис. 14.4

Найдем функцию распределения показательного закона:

Следовательно,

График F(x) представлен на рис. 14.5.

170

Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b):

Значения функции е-х можно найти из таблиц.

F(х)

1

Рис. 14.5

Математическое ожидание M(X) и дисперсия D(X) показательного

Пусть элемент (т.е. некоторое устройство) начинает работать в момент времени t0 = 0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция F(t) = p(T < t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна

Эта функция называется функцией надежности.

Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть

F t 1 e t .