Методические указания к практическим занятиям по математике 4 семестр

151

Распределение Пуассона

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую только целые неотрицательные значения 0, 1, 2,…, т,…, последовательность которых не ограничена. Такая случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет значение т, выражается формулой:

где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Распределение Пуассона является предельным для биномиального,

(использовано разложение в ряд Тейлора функции ех).

Рассмотрим типичную задачу, приводящую к распределению Пуассона. Пусть на оси абсцисс случайным образом распределяются точки, причем их распределение удовлетворяет следующим условиям:

1)вероятность попадания некоторого количества точек на отрезок длины l зависит только от длины отрезка и не зависит от его расположения на оси (то есть точки распределены с одинаковой средней плотностью);

2)точки распределяются независимо друг от друга (вероятность попадания какого-либо числа точек на данный отрезок не зависит от количества точек, попавший на любой другой отрезок);

3)практическая невозможность совпадения двух или более точек. Тогда случайная величина Х – число точек, попадающих на отрезок

длины l – распределена по закону Пуассона, где а – среднее число точек, приходящееся на отрезок длины l. Так, например, число вызовов на телефонной станции за время t, также подчиняется закону Пуассона.

Случайная величина X, распределенная по закону Пуассона, имеет следующий ряд распределения:

152

Формула Пуассона (13.11) выражает биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события. Поэтому закон Пуассона часто называют законом редких явлений.

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по закону Пуассона, можно вычислить по формулам:

M X a , D X a ,

где P X m а т е а .

т !

Таким образом, имеет место интересное свойство распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметру а, определяющему распределение).

Примеры решения задач

1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.

Решение. Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Найдем соответствующие вероятности. Событие X 0 означает, что оба

стрелок попал в цель, а второй при этом промахнулся, либо наоборот. Вероятность P X 1 p2 0, 6 0, 3 0, 4 0, 7 0, 46 . Событие

означает, что оба стрелка попали в цель и вероятность этого события равна P X 2 p3 0, 6 0, 7 0, 42 . Следовательно, ряд распределения имеет

вид:

Теперь найдем функцию распределения F(x), для этого будем использовать формулу (13.1).

F x P X 0 P X 1 0,12 0, 46 0, 58.

F x P X 0 P X 1 P X 2 0,12 0, 46 0, 42 1 .

Запишем, какая получилась функция распределения:

0, x 0

0,1 2, 0 x 1

F ( x )

0,1 2 0, 4 6 0, 5 8, 1 x 2

График функции распределения приведен на рис. 13.1.

p

1

0,12

Рис. 13.1

154

2.Стрелок проводит по мишени три выстрела. Вероятность попадания

вмишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий. Найти среднее значение числа попаданий.

Решение. Число попаданий является дискретной случайной вели-

чиной X. Каждому значению xn случайной величины X отвечает определенная вероятность Pn.

Закон распределения дискретной случайной величины в данном случае можно задать рядом распределения. В данной задаче случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, 3. По формуле Бернулли

Pn (k ) C nk p k q n k ,

найдем вероятности возможных значений случайной величины:

Р3(0) = (0,7)3 = 0,343,

Р3(1) = C 31 0,3 (0,7)2 = 0,441,

Р3(2) = C 32 (0,3)20,7 = 0,189,

Р3(3) = (0,3)3 = 0,027.

Расположив значения случайной величины X в возрастающем порядке, получим ряд распределения:

n 1

означает вероятность того, что случайная величина X примет хотя бы одно значение из числа возможных, а это событие достоверное, поэтому

4

Pn 1 . n 1

Таким образом, случайная величина X имеет биномиальное распределение. Математическое ожидание такой случайной величины

равно M X np 3 0, 3 0, 9.

155

3. Случайная величина Х задана рядом распределения

Найти функцию распределения F(x) случайной величины X и построить ее график. Вычислить для X ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Закон распределения случайной величины может быть задан функцией распределения F(x) = P(X x).

Для дискретной случайной величины эта функция выражается формулой

xn x

Поэтому в данном случае

График функции распределения F(x) представляет собой ступенчатую линию (рис. 13.2)

F(x)

1

0,5

Рис. 13.2

156

Теперь вычислим математическое ожидание по формуле (13.4):

М(Х) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Для дискретной случайной величины дисперсию вычислим по формуле (13.6)

Подставляя числовые данные задачи в формулу, получим:

М(Х2) = 32 ∙ 0,14+52 ∙ 0,2+72 ∙ 0,49+112 ∙ 0,17 = 50,84,

D(Х) = 50,84-6,722 = 5,6816.

4. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х- числа выпадений четного суммарного числа очков на двух игральных костях.

Решение. Введем в рассмотрение случайное событие А = {на двух костях при одном бросании выпало в сумме четное число очков}.

Используя классическое определение вероятности найдем

Р(А)= m ,

n

где n – число всевозможных исходов испытания находим по правилу умножения:

n = 6∙6 =36,

m - число благоприятствующих событию А исходов – равно m = 3∙6 = 18. Таким образом, вероятность успеха в одном испытании равна

р = Р(А)=1/2.

Задача решается с применением схемы испытаний Бернулли. Одним испытанием здесь будет бросание двух игральных костей один раз. Число таких испытаний n = 2. Случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями

157

Искомое биноминальное распределение случайной величины Х можно представить в виде ряда распределения:

5. Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных.

Решение. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Вычислим соответствующие вероятности

Теперь найдем дисперсию случайной величины Х. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможного значения от математического ожидания:

(1 – 2,4)2 = 1,96; (2 – 2,4)2 = 0,16; (3 – 2,4)2 = 0,36.

Следовательно,

Х – числа бросков монеты до первого появления герба.

158

Решение. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:

Задачи для самостоятельного решения

1.В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить распределение вероятностей дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных и найти ее математическое ожидание.

2.ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х – числа партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия – если проверке подлежит 50 партий.

3.Бросаются три игральные кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков.

4.Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет «двойка». Найти среднее число бросаний.

5.Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

159

6.Вероятность того, что лотерейный билет окажется выигрышным, равна 0,1. Покупатель купил 5 билетов. Найти распределение вероятностей для числа выигрышей у владельца этих пяти билетов.

7.Среди пяти ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числа опробованных дверей.

8.Закон распределения случайной величины Х имеет вид

Найти функцию распределения случайной величины Х, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Вычислить вероятность P ( 1 X 3 / 2) .

9.Игральная кость подбрасывается до: а) второго; б) третьего появления грани с номером «три». Найти среднее число подбрасываний.

10.Распределение случайной величины X задано таблицей:

Найти функцию распределения, построить её график. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

11. Дискретная случайная величина имеет закон распределения:

Найти x4 , p 4 , если M ( X ) 2, 5 4 .

12.Сдача экзамена по математике проводится до получения положительного результата. Шансы сдать экзамен остаются неизменными

исоставляют 20 %. Найти математическое ожидание числа попыток сдачи экзамена.

13.Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины – числа появлений «герба» при двух бросаниях монеты.

14. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

160

15.Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.

16.Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно 3 изделия; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

17.Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,3, вторым – 0,7. Начинает стрельбу первое орудие. Составить законы распределения дискретных случайных величин – числа израсходованных снарядов соответственно первым и вторым орудием.

18.Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.

позволяет обслуживать не более двух заявок в единицу времени. Найти вероятность того, что в течение данной единицы времени: а) станция не справится с потоком заявок и образуется очередь; б) станция обслуживания будет простаивать или работать не на полную мощность; в) на станции обслуживания очередь не образуется.